Um bloco de asbesto ( k=0,173 W / m K) com 15 cm de altura apresenta secção transversal quadrada com 5 cm de lado na sua extremidade menor, crescendo linearmente até 40 cm em sua extremidade maior. Se a extremidade menor é mantida a 800 K , e a maior, a 300 K , calcule a taxa de transferência de calor, considerando os demais lados isolados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! Temos um bloco de asbesto com condutividade térmica que tem 15 cm de altura. A seção transversal desse bloco é quadrada, começando com lados de 5 cm na parte menor e aumentando linearmente até 40 cm na parte maior. A extremidade menor está a 800 K e a maior a 300 K, e os lados restantes estão isolados. Queremos descobrir qual é a taxa de transferência de calor nesse bloco. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos ajuda a calcular como o calor flui através de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a área da seção transversal A(x) = A1 + ( A2 - A1L ) x muda ao longo da altura do bloco. Sabemos que na parte inferior (menor extremidade, ) a área é e na parte superior (maior extremidade, ) a área é . Como a mudança é linear, podemos expressar como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Fourier para condução de calor em estado estacionário, que é dada por:
dQdt = -k cdot A(x) cdot dTdx
Como estamos em estado estacionário, a taxa de transferência de calor dTdx = T2 - T1L = 300 - 8000,15 , m = -5000,15 , K/m é constante ao longo do bloco. A temperatura varia de a ao longo dos 15 cm de altura, então a derivada da temperatura em relação a é:

Passo 4

Para encontrar a taxa de transferência de calor total Q = k cdot A1 cdot A2L cdot (A2 - A1) cdot (T1 - T2) , precisamos integrar a equação de Fourier ao longo do comprimento do bloco. A fórmula resultante para um material com área de seção transversal variável é:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Converter as áreas de cm² para m²:
    A1 = (5 , cm)^2 = 0,05 , m times 0,05 , m = 0,0025 , m^2
    A2 = (40 , cm)^2 = 0,40 , m times 0,40 , m = 0,16 , m^2
  2. Substituir os valores na fórmula:
    Q = 0,173 , W/(m cdot K) times 0,0025 , m^2 times 0,16 , m^20,15 , m times (0,16 , m^2 - 0,0025 , m^2) times (800 , K - 300 , K)
  3. Calcular o denominador:
    0,15 times (0,16 - 0,0025) = 0,15 times 0,1575 = 0,023625 , m^3
  4. Calcular o numerador:
    0,173 times 0,0025 times 0,16 times 500 = 0,173 times 0,0025 times 0,16 times 500
    = 0,173 times 0,0004 times 500
    = 0,173 times 0,2 = 0,0346 , W
  5. Finalmente:
    Q = 0,03460,023625 approx 1,464 , W

Resposta

A taxa de transferência de calor é aproximadamente 1,46 W.

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