Um elemento combustível de tório (kto=55 W /(m cdot K) ) com formato de um bastão cilíndrico longo é utilizado em um reator nuclear. A geração de calor ocorre uniformemente no elemento de diâmetro 40 mm , a uma taxa de 2,7 times 10^8 W / m^3. O sistema de resfriamento do reator é caracterizado por um fluido a temperatura de 350 K e coeficiente convectivo de 8500 W /(m^2 K). A partir da equação geral da difusão, faça as devidas simplificações, identificando o motivo para eliminação ou manutenção dos seus termos e encontre a forma apropriada da equação da difusão para o caso da condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre um bastão cilíndrico de tório que está numa situação de reator nuclear. A ideia é usar a equação geral da difusão para modelar a condução de calor nesse bastão, considerando que há geração de calor internamente. Vamos precisar entender conceitos de condução térmica, condições de regime permanente (sem mudança no tempo) e que a condução é unidimensional (em apenas uma direção). Então, vamos pegar a equação geral da difusão de calor e simplificar ela com essas informações em mente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral da condução de calor, que é uma forma da equação da difusão. Ela pode ser escrita como:
partial Tpartial t = alpha nabla^2 T + q''' rho cp
Aqui, é a temperatura, é a difusividade térmica, é o Laplaciano da temperatura, e representa a geração de calor por unidade de volume. Mas vamos ver como podemos simplificar isso para o nosso caso.

Passo 3

Como estamos lidando com regime permanente, ou seja, sem mudanças no tempo, a derivada temporal nabla^2 T = 1r ddr ( r dTdr ) desaparece. Além disso, a condução é unidimensional, o que simplifica o Laplaciano. Em coordenadas cilíndricas, se só varia na direção radial , o Laplaciano fica:
Mas se a condução for estritamente unidimensional e assumir que o raio é grande o suficiente para negligenciar a variação angular e axial, podemos simplificar ainda mais.

Passo 4

Além disso, temos geração de calor interna, que vamos manter no equilíbrio térmico. Então, nossa equação simplificada fica:
0 = alpha d^2 Tdx^2 + q''' rho cp
Aqui, é a direção da condução, é a difusividade térmica, é a taxa de geração de calor, é a densidade e é o calor específico a pressão constante. Essa é a forma apropriada para condução unidimensional em regime permanente com geração de energia térmica.

Resposta

A equação da difusão simplificada para condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica é:
d^2 Tdx^2 + q''' kto = 0

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