Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox ( rho=8055 kg / m^3; c = 480 J /(kg ^circ C ; k=15 W /(m ^circ C) ) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a dotq=48 kW / m^3 durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de 16^circ C e o coeficiente de convecção é de 215 W /(m^2 ^circ C). Determine a temperatura superficial do recipiente em regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um recipiente esférico de aço inox com raio de 20 cm que está dentro de uma baía com água a 16°C. Os equipamentos internos geram calor de forma uniforme durante o funcionamento. Precisamos encontrar a temperatura na superfície do recipiente quando tudo estiver estável, ou seja, em regime permanente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução no material do recipiente e convecção na superfície para a água. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do recipiente esférico, já que a geração de calor interna é dada por uma taxa por unidade de volume. A fórmula para o volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Onde V = 43 pi (0,2)^3 approx 0,0335 , m^3 é o raio da esfera. Como o raio é 20 cm (ou 0,2 metros), temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa total de geração de calor dentro do recipiente. Isso é feito multiplicando a taxa de geração de calor por metro cúbico pelo volume:
Q>=n = dotq times V = 48,000 , W/m^3 times 0,0335 , m^3 approx 1,608 , W

Passo 4

Em regime permanente, a quantidade de calor gerada internamente deve ser igual à quantidade de calor perdida por convecção na superfície. A taxa de perda de calor por convecção é dada por:
Qconv = h times A times (Ts - Tinfty)
Onde:
  • A = 4 pi r^2 = 4 pi (0,2)^2 approx 0,503 , m^2 é o coeficiente de convecção (215 W/m²°C),
  • é a área da superfície,
  • é a temperatura superficial que queremos encontrar,
  • é a temperatura da água (16°C).
Primeiro, vamos calcular a área da superfície da esfera:

Passo 5

Igualando a geração de calor à perda por convecção:
Q>=n = Qconv 1,608 , W = 215 , W/m^2°C times 0,503 , m^2 times (Ts - 16°C)
Agora, vamos isolar Ts - 16 = 1,608215 times 0,503 Ts - 16 approx 1,608108,145 approx 14,86°C :

Passo 6

Finalmente, somamos a diferença de temperatura à temperatura da água para encontrar Ts = 16°C + 14,86°C approx 30,86°C :

Resposta

A temperatura superficial do recipiente em regime permanente é aproximadamente 30,9 °C.

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