Uma parede plana é composta de dois materiais A e B. A camada do material A tem uma geração de calor uniforme dotqA=2,5 times 10^4 W / m^3, condutividade térmica kA=50 W /(m K) e espessura LA=20 cm. A camada do material B , com condutividade térmica kB=90 W /(m cdot K), não tem geração de calor. A superfície interna do material A é bem isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de ar com Tinfty=20^circ C e um coeficiente convectivo de h=180 W / m^2 K. Despreze os efeitos da radiação na sua análise e considere que a temperatura na interface entre os dois materiais é igual a T1=75^circ C. Calcule a temperatura da superfície isolada (T0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transferência de calor em uma parede com dois materiais diferentes, A e B. O que a gente precisa fazer é calcular a temperatura na superfície isolada, chamada de . Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equilíbrio de energia, considerando a geração de calor no material A e a perda de calor por convecção no material B.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o material A. Ele tem uma geração de calor uniforme, o que significa que o calor está sendo produzido dentro dele. A taxa de geração de calor é dada por d^2Tdx^2 = -dotqAkA . A condutividade térmica é e a espessura é .
Como o material é gerador de calor, a temperatura varia ao longo da espessura. A equação básica para a condução de calor com geração interna é:

Passo 3

Integrando essa equação duas vezes para encontrar a distribuição de temperatura:
Primeira integração:
dTdx = -dotqAkA x + C1
Segunda integra�o:
T(x) = -dotqA2kA x^2 + C1 x + C2
Agora, precisamos determinar as constantes de integração e usando as condições de contorno.

Passo 4

Sabemos que a superfície interna é bem isolada, ou seja, não há fluxo de calor passando por lá. Isso implica que a derivada da temperatura em dTdx |x=0 = 0 = -dotqAkA cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = 0 é zero:
T(x) = -dotqA2kA x^2 + C2
Então, a equação da temperatura no material A fica:

Passo 5

Na interface entre os materiais A e B, que ocorre em T(LA) = -dotqA2kA LA^2 + C2 = T1 , a temperatura é C2 = T1 + dotqA2kA LA^2 . Vamos usar isso para encontrar C2 = 75 + 2,5 times 10^42 times 50 times (0,2)^2 :
C2 = 75 + 2,5 times 10^4100 times 0,04
Isolando C2 = 75 + 250 times 0,04 = 75 + 10 = 85^circ C :
T(x) = -2,5 times 10^42 times 50 x^2 + 85 = -250 x^2 + 85
Substituindo os valores:
Então, a equação da temperatura no material A é:

Passo 6

Agora, vamos analisar o material B. Ele não gera calor ( d^2Tdx^2 = 0 ), e a condutividade térmica é dTdx = C3 . A temperatura na interface é T(x) = C3 x + C4 , e na superfície externa, a temperatura é influenciada pela convecção com o ar a e coeficiente convectivo .
A condução de calor no material B pode ser descrita pela equação:
Integrando duas vezes:

Passo 7

Aplicamos as condições de contorno no material B:
  1. Na interface ( - kB dTdx|x=LB = h (T(LB) - Tinfty) ), .
  2. Na superfície externa, a perda de calor por convecção é dada por:
Aqui, é a espessura do material B, que infelizmente não foi fornecida diretamente. Vamos assumir que a espessura total da parede é , mas como não foi dada, parece que há informações faltando. Porém, para continuar, vamos considerar que queremos a temperatura na superfície isolada , que está no material A.

Passo 8

Retornando ao material A, a temperatura na superfície isolada T0 = T(0) = -250 times 0^2 + 85 = 85^circ C é encontrada quando :

Resposta

A temperatura na superfície isolada é .

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