Um elemento cristaliza numa rede cúbica de corpo centrado, com aresta da célula unitária valendo 4,00 AA ̊ e a densidade do cristal é de 5,50 g / cm^3. Determine o peso atômico do elemento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cristal que forma uma estrutura cúbica de corpo centrado (BCC), com aresta da célula unitária de 4,00 AA e densidade de 5,50 g/cm^3. O objetivo é encontrar o peso atômico desse elemento. Vamos precisar usar conceitos de estrutura cristalina, densidade e massa molar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura cúbica de corpo centrado (BCC). Nessa estrutura, cada célula unitária tem 2 átomos: um no centro e um em cada um dos 8 vértices, mas cada átomo dos vértices é compartilhado por 8 células diferentes. Então, efetivamente, temos 1 átomo (do centro) mais 8 × 1/8 = 1 átomo dos vértices, totalizando 2 átomos por célula unitária.

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da célula unitária. A aresta da célula é de 4,00 AA, que é igual a 4,00 times 10^-8 cm (já que 1 AA = 10^-8 cm). O volume V é dado por:
V = a^3 = (4,00 times 10^-8 , cm)^3 = 6,4 times 10^-23 , cm^3

Passo 4

A densidade ( rho) é a massa por unidade de volume. Sabemos que a densidade é 5,50 , g/cm^3 e o volume da célula unitária é 6,4 times 10^-23 , cm^3. Então, a massa ( m) da célula unitária é:
m = rho times V = 5,50 , g/cm^3 times 6,4 times 10^-23 , cm^3 = 3,52 times 10^-22 , g

Passo 5

Sabemos que cada célula unitária contém 2 átomos. Portanto, a massa de um átomo ( mátomoá) é:
mátomo = 3,52 times 10^-22 , g2 = 1,76 times 10^-22 , g á

Passo 6

Para encontrar o peso atômico (massa molar) do elemento, usamos a relação entre a massa de um átomo e a massa molar:
Massa molar = massa de um átomo times NAmassa atômica unitária áôá
Onde NA é a constante de Avogadro ( 6,022 times 10^23 , mol^-1).
Rearranjando para encontrar o peso atômico ( A):
A = 1,76 times 10^-22 , g times 6,022 times 10^23 , mol^-11 = 105,9 , g/mol

Resposta

O peso atômico do elemento é aproximadamente 106 , g/mol.

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