Um elemento infinitesimal da barra contém uma carga , na qual é a densidade linear de carga. Por simetria, as componentes horizontais dos campos produzidos pelos elementos de carga se cancelam e precisamos apenas calcular, por integração, a soma das componentes verticais. A simetria do problema também permite calcular apenas a contribuição de metade da barra e multiplicar o resultado por dois. No cálculo que se segue, fazemos uso do fato de que sen , na qual .
(a) De acordo com a Eq. 22-3, temos:
na qual a solução da integral pode ser obtida usando os métodos do cálculo ou consultando o Apêndice E (veja a fórmula 19 da lista de integrais).
(b) Como foi mencionado no item a, o campo elétrico é vertical e faz um ângulo de com o semieixo positivo.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra carregada eletricamente com uma densidade linear de carga, denotada por . Queremos calcular o campo elétrico produzido por essa barra em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como o campo elétrico de cargas distribuídas e integração para somar contribuições de cada pedacinho da barra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a densidade linear de carga, . Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento da barra. Então, se tivermos um pequeno elemento de comprimento , a carga nesse pedacinho é .

Passo 3

Agora, para calcular o campo elétrico total no ponto de interesse, precisamos somar as contribuições de todos esses pedacinhos de carga ao longo da barra. Devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, restando apenas as componentes verticais. Por isso, vamos focar apenas nessas componentes.

Passo 4

Vamos considerar apenas metade da barra, de até , e depois multiplicar o resultado por dois, aproveitando a simetria. Isso simplifica nossos cálculos.

Passo 5

Sabemos que o campo elétrico produzido por uma carga a uma distância é dado por:
Onde é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 6

A componente vertical desse campo pode ser encontrada usando o seno do ângulo que o segmento faz com o eixo . Ou seja:

Passo 7

A relação entre , , e é dada por:
E sabemos que:

Passo 8

Substituindo na expressão de , temos:

Passo 9

Agora, integramos de até e multiplicamos por para considerar toda a barra:

Passo 10

Resolvendo a integral, temos:
Aplicando os limites de integração:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 12

Sabendo que a carga total está distribuída ao longo do comprimento , temos . Substituindo isso:

Passo 13

Para a parte (b), como o campo elétrico é obtido somando apenas as componentes verticais das contribuições de cada elemento de carga, concluímos que é direcionado verticalmente. Além disso, devido à simetria do problema, esse campo faz um ângulo de com o semieixo positivo, ou seja, está totalmente na direção vertical.

Resposta

(a) O campo elétrico no ponto considerado é .
(b) O campo elétrico é vertical e forma um ângulo de com o semieixo positivo.

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