Um elemento infinitesimal da barra contém uma carga , na qual é a densidade linear de carga. Por simetria, as componentes horizontais dos campos produzidos pelos elementos de carga se cancelam e precisamos apenas calcular, por integração, a soma das componentes verticais. A simetria do problema também permite calcular apenas a contribuição de metade da barra e multiplicar o resultado por dois. No cálculo que se segue, fazemos uso do fato de que sen , na qual .
(a) De acordo com a Eq. 22-3, temos:
na qual a solução da integral pode ser obtida usando os métodos do cálculo ou consultando o Apêndice E (veja a fórmula 19 da lista de integrais).
(b) Como foi mencionado no item a, o campo elétrico é vertical e faz um ângulo de com o semieixo positivo.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra carregada eletricamente com uma densidade linear de carga, denotada por . Queremos calcular o campo elétrico produzido por essa barra em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como o campo elétrico de cargas distribuídas e integração para somar contribuições de cada pedacinho da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a densidade linear de carga, . Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento da barra. Então, se tivermos um pequeno elemento de comprimento , a carga nesse pedacinho é .
Passo 3
Agora, para calcular o campo elétrico total no ponto de interesse, precisamos somar as contribuições de todos esses pedacinhos de carga ao longo da barra. Devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, restando apenas as componentes verticais. Por isso, vamos focar apenas nessas componentes.
Passo 4
Vamos considerar apenas metade da barra, de até , e depois multiplicar o resultado por dois, aproveitando a simetria. Isso simplifica nossos cálculos.
Passo 5
Sabemos que o campo elétrico produzido por uma carga a uma distância é dado por:
Onde é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 6
A componente vertical desse campo pode ser encontrada usando o seno do ângulo que o segmento faz com o eixo . Ou seja:
Passo 7
A relação entre , , e é dada por:
E sabemos que:
Passo 8
Substituindo na expressão de , temos:
Passo 9
Agora, integramos de até e multiplicamos por para considerar toda a barra:
Passo 10
Resolvendo a integral, temos:
Aplicando os limites de integração:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão para :
Passo 12
Sabendo que a carga total está distribuída ao longo do comprimento , temos . Substituindo isso:
Passo 13
Para a parte (b), como o campo elétrico é obtido somando apenas as componentes verticais das contribuições de cada elemento de carga, concluímos que é direcionado verticalmente. Além disso, devido à simetria do problema, esse campo faz um ângulo de com o semieixo positivo, ou seja, está totalmente na direção vertical.
Resposta
(a) O campo elétrico no ponto considerado é .
(b) O campo elétrico é vertical e forma um ângulo de com o semieixo positivo.