Um elemento infinitesimal da barra contém uma carga , na qual é a densidade linear de carga. Por simetria, as componentes horizontais dos campos produzidos pelos elementos de carga se cancelam e precisamos apenas calcular, por integração, a soma das componentes verticais. A simetria do problema também permite calcular apenas a contribuição de metade da barra e multiplicar o resultado por dois. No cálculo que se segue, fazemos uso do fato de que sen , na qual .
(a) De acordo com a Eq. 22-3, temos:
na qual a solução da integral pode ser obtida usando os métodos do cálculo ou consultando o Apêndice E (veja a fórmula 19 da lista de integrais).
(b) Como foi mencionado no item a, o campo elétrico E é vertical e faz um ângulo de 90^circ com o semieixo x positivo.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra carregada eletricamente com uma densidade linear de carga, denotada por lambda. Queremos calcular o campo elétrico produzido por essa barra em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como o campo elétrico de cargas distribuídas e integração para somar contribuições de cada pedacinho da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a densidade linear de carga, lambda. Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento da barra. Então, se tivermos um pequeno elemento de comprimento dx, a carga nesse pedacinho é dq = lambda dx.
Passo 3
Agora, para calcular o campo elétrico total no ponto de interesse, precisamos somar as contribuições de todos esses pedacinhos de carga ao longo da barra. Devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, restando apenas as componentes verticais. Por isso, vamos focar apenas nessas componentes.
Passo 4
Vamos considerar apenas metade da barra, de 0 até L/2, e depois multiplicar o resultado por dois, aproveitando a simetria. Isso simplifica nossos cálculos.
Passo 5
Sabemos que o campo elétrico produzido por uma carga dq a uma distância r é dado por:
dE = dq4 pi epsilon0 r^2 r
Onde epsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 6
A componente vertical desse campo pode ser encontrada usando o seno do ângulo theta que o segmento r faz com o eixo x. Ou seja:
dEy = dE cdot sintheta = dq4 pi epsilon0 r^2 sintheta
Passo 7
A relação entre sintheta, R, e r é dada por:
sintheta = Rr
E sabemos que:
r = raizx^2 + R^2
Passo 8
Substituindo sintheta na expressão de dEy, temos:
dEy = lambda dx4 pi epsilon0 (x^2 + R^2) cdot Rraizx^2 + R^2 = lambda R dx4 pi epsilon0 (x^2 + R^2)^3/2
Passo 9
Agora, integramos dEy de 0 até L/2 e multiplicamos por 2 para considerar toda a barra:
E = 2 times integral0^L/2 lambda R dx4 pi epsilon0 (x^2 + R^2)^3/2 = lambda R2 pi epsilon0 integral0^L/2 dx(x^2 + R^2)^3/2
E = lambda R2 pi epsilon0 cdot L/2R^2 raiz(L/2)^2 + R^2 = lambda L4 pi epsilon0 R raiz(L/2)^2 + R^2
Passo 12
Sabendo que a carga total q está distribuída ao longo do comprimento L, temos lambda = qL. Substituindo isso:
E = q4 pi epsilon0 R raiz(L/2)^2 + R^2 = q2 pi epsilon0 R raizL^2 + 4R^2
Passo 13
Para a parte (b), como o campo elétrico E é obtido somando apenas as componentes verticais das contribuições de cada elemento de carga, concluímos que E é direcionado verticalmente. Além disso, devido à simetria do problema, esse campo faz um ângulo de 90^circ com o semieixo x positivo, ou seja, está totalmente na direção vertical.
Resposta
(a) O campo elétrico no ponto considerado é E = 12,4 , N/C.
(b) O campo elétrico E é vertical e forma um ângulo de 90^circ com o semieixo x positivo.