Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades: ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que usando a forma trigonométrica dos números complexos. Para isso, vamos precisar saber como converter um número complexo para a forma trigonométrica e como calcular potências nessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos converter para a forma trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo é dada por:
onde:
  • é o módulo de , calculado por
  • é o argumento de , que é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.

Passo 3

Vamos calcular o módulo de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . Para , e . O número está no segundo quadrante, então:

Passo 5

Com o módulo e o argumento, a forma trigonométrica de fica:

Passo 6

Agora, vamos elevar à sétima potência usando a forma trigonométrica. Para isso, usamos a propriedade das potências na forma trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, o módulo elevado à sétima potência:
Agora, o argumento:
Como e para qualquer inteiro , podemos simplificar:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:

Resposta

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(a) De acordo com a Eq. 22-3, temos:
na qual a solução da integral pode ser obtida usando os métodos do cálculo ou consultando o Apêndice E (veja a fórmula 19 da lista de integrais).
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