Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades: (-1+imath)^7=-8(1+imath);

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que usando a forma trigonométrica dos números complexos. Para isso, vamos precisar saber como converter um número complexo para a forma trigonométrica e como calcular potências nessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos converter z = r ( cos(theta) + i sin(theta) ) para a forma trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo é dada por:
onde:
  • é o módulo de , calculado por
  • é o argumento de , que é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.

Passo 3

Vamos calcular o módulo r = raiz(-1)^2 + (1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta = pi - arctan(11) = pi - pi4 = 3pi4 . Para , e . O número está no segundo quadrante, então:

Passo 5

Com o módulo e o argumento, a forma trigonométrica de -1 + i = raiz2 ( cos(3pi4) + i sin(3pi4) ) fica:

Passo 6

Agora, vamos elevar z^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) ) à sétima potência usando a forma trigonométrica. Para isso, usamos a propriedade das potências na forma trigonométrica:
(-1 + i)^7 = ( raiz2 )^7 ( cos(7 cdot 3pi4) + i sin(7 cdot 3pi4) )
Aplicando isso:

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, o módulo elevado à sétima potência:
( raiz2 )^7 = 2^7/2 = 2^3 cdot 2^1/2 = 8 raiz2
Agora, o argumento:
7 cdot 3pi4 = 21pi4 = 5pi + pi4
Como cos(21pi4) = cos(pi4) = raiz22 e sin(21pi4) = sin(pi4) = raiz22 para qualquer inteiro , podemos simplificar:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
(-1 + i)^7 = 8 raiz2 ( raiz22 + i raiz22 )
Simplificando:
= 8 raiz2 cdot raiz22 (1 + i)
= 8 cdot 22 (1 + i)
= 8 (1 + i)
= -8 (1 + i)

Resposta

(-1 + i)^7 = -8(1 + i)

Exercícios relacionados