Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades:
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que
usando a forma trigonométrica dos números complexos. Para isso, vamos precisar saber como converter um número complexo para a forma trigonométrica e como calcular potências nessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos converter
para a forma trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo
é dada por:
onde:
-
é o módulo de , calculado por -
é o argumento de , que é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.
Passo 3
Vamos calcular o módulo
de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Para
,
e
. O número está no segundo quadrante, então:
Passo 5
Com o módulo e o argumento, a forma trigonométrica de
fica:
Passo 6
Agora, vamos elevar
à sétima potência usando a forma trigonométrica. Para isso, usamos a propriedade das potências na forma trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 7
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, o módulo elevado à sétima potência:
Agora, o argumento:
Como
e
para qualquer inteiro
, podemos simplificar:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Simplificando: