Partindo de
sem velocidade inicial, uma partícula sofre uma aceleração igual a
, onde a e
são expressos em
, respectivamente. Determine a) a equação da velocidade em função da posição, b) a posição da partícula quando
) a velocidade escalar da partícula quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula começando do zero (posição
) sem velocidade inicial. A aceleração dela é dada por
. O que isso significa é que a aceleração depende da velocidade da partícula. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de Cinemática e Equações Diferenciais, mas de um jeito bem tranquilo. Precisamos encontrar:
a) A equação da velocidade em função da posição.
b) A posição da partícula quando a velocidade for
.
c) A velocidade da partícula quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é a aceleração em função da velocidade. A fórmula
nos diz que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Mas como queremos relacionar velocidade com posição, vamos usar a relação
. Assim, substituímos a aceleração dada:
Passo 3
Para encontrar a equação da velocidade em função da posição, vamos separar as variáveis
e
. Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos os
de um lado e os
do outro:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Primeiramente, a integral do lado esquerdo:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 5
Agora, a integral do lado direito:
Igualando as integrais:
Como a velocidade inicial é zero (
quando
), podemos encontrar a constante
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar
para encontrar a velocidade em função da posição:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo 49 de ambos os lados:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Resposta
A equação da velocidade em função da posição é: