Partindo de sem velocidade inicial, uma partícula sofre uma aceleração igual a , onde a e são expressos em , respectivamente. Determine a) a equação da velocidade em função da posição, b) a posição da partícula quando ) a velocidade escalar da partícula quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula começando do zero (posição ) sem velocidade inicial. A aceleração dela é dada por . O que isso significa é que a aceleração depende da velocidade da partícula. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de Cinemática e Equações Diferenciais, mas de um jeito bem tranquilo. Precisamos encontrar:
a) A equação da velocidade em função da posição.
b) A posição da partícula quando a velocidade for .
c) A velocidade da partícula quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a aceleração em função da velocidade. A fórmula nos diz que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Mas como queremos relacionar velocidade com posição, vamos usar a relação . Assim, substituímos a aceleração dada:

Passo 3

Para encontrar a equação da velocidade em função da posição, vamos separar as variáveis e . Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos os de um lado e os do outro:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Primeiramente, a integral do lado esquerdo:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 5

Agora, a integral do lado direito:
Igualando as integrais:
Como a velocidade inicial é zero ( quando ), podemos encontrar a constante :
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos isolar para encontrar a velocidade em função da posição:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo 49 de ambos os lados:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:

Resposta

A equação da velocidade em função da posição é:

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(a) De acordo com a Eq. 22-3, temos:
na qual a solução da integral pode ser obtida usando os métodos do cálculo ou consultando o Apêndice E (veja a fórmula 19 da lista de integrais).
(b) Como foi mencionado no item a, o campo elétrico é vertical e faz um ângulo de com o semieixo positivo.