Partindo de x=0 sem velocidade inicial, uma partícula sofre uma aceleração igual a a(v)= 0,8 raizv^2+49, onde a e v são expressos em m / s^2 e m / s, respectivamente. Determine a) a equação da velocidade em função da posição, b) a posição da partícula quando v=24 m / s, c ) a velocidade escalar da partícula quando x=40 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula começando do zero (posição ) sem velocidade inicial. A aceleração dela é dada por . O que isso significa é que a aceleração depende da velocidade da partícula. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de Cinemática e Equações Diferenciais, mas de um jeito bem tranquilo. Precisamos encontrar:
a) A equação da velocidade em função da posição.
b) A posição da partícula quando a velocidade for .
c) A velocidade da partícula quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que v dvdx = 0,8 raizv^2 + 49 é a aceleração em função da velocidade. A fórmula nos diz que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Mas como queremos relacionar velocidade com posição, vamos usar a relação . Assim, substituímos a aceleração dada:

Passo 3

Para encontrar a equação da velocidade em função da posição, vamos separar as variáveis v , dv = 0,8 raizv^2 + 49 , dx e vraizv^2 + 49 , dv = 0,8 , dx . Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos os de um lado e os do outro:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Primeiramente, a integral do lado esquerdo:
integral vraizv^2 + 49 , dv
Fazendo a substituição 12 integral 1raizu , du = raizu + C = raizv^2 + 49 + C , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 5

Agora, a integral do lado direito:
integral 0,8 , dx = 0,8x + C
Igualando as integrais:
raizv^2 + 49 = 0,8x + C
Como a velocidade inicial é zero ( raiz0 + 49 = 0 + C implies 7 = C quando raizv^2 + 49 = 0,8x + 7 ), podemos encontrar a constante :
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos isolar raizv^2 + 49 = 0,8x + 7 para encontrar a velocidade em função da posição:
v^2 + 49 = (0,8x + 7)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
v^2 + 49 = 0,64x^2 + 11,2x + 49
Expandindo o lado direito:
v^2 = 0,64x^2 + 11,2x
Subtraindo 49 de ambos os lados:
v(x) = raiz0,64x^2 + 11,2x
Finalmente, tirando a raiz quadrada:

Resposta

A equação da velocidade em função da posição é:
v(x) = raiz0,64x^2 + 11,2x

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