Partindo de sem velocidade inicial, uma partícula sofre uma aceleração igual a , onde a e são expressos em , respectivamente. Determine a) a equação da velocidade em função da posição, b) a posição da partícula quando ) a velocidade escalar da partícula quando .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula começando do zero (posição ) sem velocidade inicial. A aceleração dela é dada por . O que isso significa é que a aceleração depende da velocidade da partícula. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de Cinemática e Equações Diferenciais, mas de um jeito bem tranquilo. Precisamos encontrar:
a) A equação da velocidade em função da posição.
b) A posição da partícula quando a velocidade for .
c) A velocidade da partícula quando .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que é a aceleração em função da velocidade. A fórmula nos diz que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Mas como queremos relacionar velocidade com posição, vamos usar a relação . Assim, substituímos a aceleração dada:
Passo 3
Para encontrar a equação da velocidade em função da posição, vamos separar as variáveis e . Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos os de um lado e os do outro:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Primeiramente, a integral do lado esquerdo:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:
Passo 5
Agora, a integral do lado direito:
Igualando as integrais:
Como a velocidade inicial é zero ( quando ), podemos encontrar a constante :
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar para encontrar a velocidade em função da posição: