Os elementos que formam o triângulo de Pascal são calculados por combinações, definidas por Cn^p=n!(n-p)!p!, onde n e p são números naturais e n >= p. Uma das várias relações interessantes entre os elementos que formam esse triângulo é a soma dos elementos de uma coluna. Podemos calcular o resultado usando a expressão:
Cp^p+Cp+1^p+Cp+2^p+ldots+Cn^p=Cn+1^p+1
Considere a expressão a seguir
E=sumi=2^18 Ci^2=C2^2+C3^2+C4^2+ldots+C18^2
Podemos afirmar que a expressão E é igual a:
a) 1250
b) 969
c) 898
d) 625
e) 596

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o Triângulo de Pascal e combinações. Precisamos calcular a soma dos elementos da coluna referente a para de 2 até 18. Para isso, vamos usar a fórmula das combinações e uma relação específica do Triângulo de Pascal.

Passo 2

Primeiro, lembraremos a fórmula das combinações:
Cn^p = n!(n - p)! , p!
Onde e são números naturais e .

Passo 3

A relação interessante que vamos usar é:
Cp^p + Cp+1^p + Cp+2^p + ldots + Cn^p = Cn+1^p+1
Isso significa que a soma das combinações fixando e variando de até algum valor é igual a uma única combinação com e .

Passo 4

No nosso exercício, temos a expressão:
E = sumi=2^18 Ci^2 = C2^2 + C3^2 + ldots + C18^2
Aqui, E = C18+1^2+1 = C19^3 e varia de 2 até 18. Aplicando a relação que vimos:

Passo 5

Agora, vamos calcular C19^3 = 19!(19 - 3)! , 3! = 19!16! , 3! usando a fórmula das combinações:
C19^3 = 19 times 18 times 17 times 16!16! times 6 = 19 times 18 times 176
Simplificando:
19 times 18 = 342 342 times 17 = 5814 5814 div 6 = 969
Calculando:

Resposta

A expressão é igual a 969. Portanto, a resposta correta é a letra b) 969.

Exercícios relacionados