A variável aleatória (X, Y) tem densidade igual a f(x, y)=2 a exp -(ax+2 y) se x>0, y>0 e a>0. Calcule F(x, y) e verifique se X e Y são independentes, justificando a sua conclusão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade conjunta para duas variáveis aleatórias, e , que é quando , e . Nosso objetivo é calcular a função de distribuição acumulada conjunta e verificar se e são independentes. Para isso, vamos precisar entender integrais múltiplas e o conceito de independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta F(x, y) = P(X <= x, Y <= y) = integral0^x integral0^y f(u, v) , dv , du . Ela representa a probabilidade de que seja menor ou igual a e seja menor ou igual a simultaneamente. Matematicamente, isso é dado por:
Aqui, estamos integrando a função de densidade sobre todas as de 0 até e todas as de 0 até .

Passo 3

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^y 2a exp-(au + 2v) , dv :
2a exp(-au) integral0^y exp(-2v) , dv
Como integral0^y exp(-2v) , dv = [-12 exp(-2v)]0^y = 12(1 - exp(-2y)) e 2a exp(-au) times 12(1 - exp(-2y)) = a exp(-au) (1 - exp(-2y)) são tratados como constantes nessa integração, podemos simplificar:
A integral de de 0 a é:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a F(x, y) = integral0^x a exp(-au) (1 - exp(-2y)) , du :
F(x, y) = (1 - exp(-2y)) integral0^x a exp(-au) , du
Note que integral0^x a exp(-au) , du = [-exp(-au)]0^x = 1 - exp(-ax) é uma constante em relação a F(x, y) = (1 - exp(-2y)) (1 - exp(-ax)) , então podemos tirar da integral:
A integral de de 0 a é:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos FX(x) = P(X <= x) = integral0^x fX(u) , du , vamos verificar se FY(y) = P(Y <= y) = integral0^y fY(v) , dv e fX(u) = integral0^infty f(u, v) , dv = integral0^infty 2a exp-(au + 2v) , dv = a exp(-au) são independentes. Para isso, precisamos comparar fY(v) = integral0^infty f(u, v) , du = integral0^infty 2a exp-(au + 2v) , du = exp(-2v) com o produto das funções de distribuição marginais FX(x) = 1 - exp(-ax) e FY(y) = 1 - exp(-2y) .
Primeiro, encontramos as distribuições marginais:
FX(x) times FY(y) = (1 - exp(-ax)) (1 - exp(-2y)) = F(x, y)
Onde:
Então:
Multiplicando e :
Como , isso mostra que e são independentes.

Resposta

A função de distribuição acumulada conjunta é
F(x, y) = (1 - exp(-ax)) (1 - exp(-2y))
Além disso, e são independentes, já que é igual ao produto das distribuições marginais e .

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