A variável aleatória
tem densidade igual a
se
,
e
. Calcule
e verifique se
e
são independentes, justificando a sua conclusão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade conjunta para duas variáveis aleatórias,
e
, que é
quando
,
e
. Nosso objetivo é calcular a função de distribuição acumulada conjunta
e verificar se
e
são independentes. Para isso, vamos precisar entender integrais múltiplas e o conceito de independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta
. Ela representa a probabilidade de que
seja menor ou igual a
e
seja menor ou igual a
simultaneamente. Matematicamente, isso é dado por:
Aqui, estamos integrando a função de densidade
sobre todas as
de 0 até
e todas as
de 0 até
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
e
são tratados como constantes nessa integração, podemos simplificar:
A integral de
de 0 a
é:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Note que
é uma constante em relação a
, então podemos tirar da integral:
A integral de
de 0 a
é:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos
, vamos verificar se
e
são independentes. Para isso, precisamos comparar
com o produto das funções de distribuição marginais
e
.
Primeiro, encontramos as distribuições marginais:
Onde:
Então:
Multiplicando
e
:
Como
, isso mostra que
e
são independentes.
Resposta
A função de distribuição acumulada conjunta é
Além disso,
e
são independentes, já que
é igual ao produto das distribuições marginais
e
.