A variável aleatória tem densidade igual a se , e . Calcule e verifique se e são independentes, justificando a sua conclusão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade conjunta para duas variáveis aleatórias, e , que é quando , e . Nosso objetivo é calcular a função de distribuição acumulada conjunta e verificar se e são independentes. Para isso, vamos precisar entender integrais múltiplas e o conceito de independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta . Ela representa a probabilidade de que seja menor ou igual a e seja menor ou igual a simultaneamente. Matematicamente, isso é dado por:
Aqui, estamos integrando a função de densidade sobre todas as de 0 até e todas as de 0 até .

Passo 3

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como e são tratados como constantes nessa integração, podemos simplificar:
A integral de de 0 a é:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :
Note que é uma constante em relação a , então podemos tirar da integral:
A integral de de 0 a é:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos , vamos verificar se e são independentes. Para isso, precisamos comparar com o produto das funções de distribuição marginais e .
Primeiro, encontramos as distribuições marginais:
Onde:
Então:
Multiplicando e :
Como , isso mostra que e são independentes.

Resposta

A função de distribuição acumulada conjunta é
Além disso, e são independentes, já que é igual ao produto das distribuições marginais e .

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