A variável aleatória
tem densidade igual a
se
,
e
. Calcule
e verifique se
e
são independentes, justificando a sua conclusão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade conjunta para duas variáveis aleatórias,
e
, que é
quando
,
e
. Nosso objetivo é calcular a função de distribuição acumulada conjunta
e verificar se
e
são independentes. Para isso, vamos precisar entender integrais múltiplas e o conceito de independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta
. Ela representa a probabilidade de que
seja menor ou igual a
e
seja menor ou igual a
simultaneamente. Matematicamente, isso é dado por:
Aqui, estamos integrando a função de densidade
sobre todas as
de 0 até
e todas as
de 0 até
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
e
são tratados como constantes nessa integração, podemos simplificar:
A integral de
de 0 a
é:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Note que
é uma constante em relação a
, então podemos tirar da integral:
A integral de
de 0 a
é:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos
, vamos verificar se
e
são independentes. Para isso, precisamos comparar
com o produto das funções de distribuição marginais
e
.
Primeiro, encontramos as distribuições marginais:
Onde:
Então:
Multiplicando
e
:
Como
, isso mostra que
e
são independentes.
Resposta
A função de distribuição acumulada conjunta é
Além disso,
e
são independentes, já que
é igual ao produto das distribuições marginais
e
.
Exercícios relacionados
Os elementos que formam o triângulo de Pascal são calculados por combinações, definidas por
, onde
e
são números naturais e
. Uma das várias relações interessantes entre os elementos que formam esse triângulo é a soma dos elementos de uma coluna. Podemos calcular o resultado usando a expressão:
Considere a expressão a seguir
Podemos afirmar que a expressão E é igual a:
a) 1250
b) 969
c) 898
d) 625
e) 596
a) 1250
b) 969
c) 898
d) 625
e) 596
A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional
é dada por:
Determine:
d)
d)
Sobre o binômio de Newton
é correto afirmar:
a) A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio é equivalente a 36 .
b) O segundo termo do desenvolvimento é .
c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.
d) O termo independente do desenvolvimento é raiz da equação
e) O desenvolvimento do binômio tem 5 termos.
a) A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio é equivalente a 36 .
b) O segundo termo do desenvolvimento é
c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.
d) O termo independente do desenvolvimento é raiz da equação
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Impacto Ambiental
Suponha que a usina solar de 1 MW substitui uma geração de energia a diesel que emite de
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