A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional é dada por:
Determine:
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a expectativa de para a função de probabilidade conjunta dada. Estamos lidando com variáveis aleatórias bidimensionais no contexto de probabilidade discreta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a expectativa de uma variável aleatória a partir da sua função de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a expectativa de uma variável aleatória. A expectativa, ou valor esperado, de , denotada por , é basicamente uma média ponderada dos possíveis valores que pode assumir, onde os pesos são as probabilidades desses valores.
Passo 3
Dada a função de probabilidade conjunta:
Isso significa que para cada , pode assumir valores de 1 até , cada um com a mesma probabilidade.
Passo 4
Para encontrar , precisamos primeiro encontrar a função de probabilidade marginal de , ou seja, . Isso se obtém somando sobre todos os que permitem .
Passo 5
Observando a função , vemos que para um dado , os valores possíveis de são de até . Portanto:
Passo 6
Simplificando a soma, temos termos iguais a :
Passo 7
Agora, para encontrar , usamos a definição da expectativa:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão:
Passo 9
Expandindo o termo dentro da soma:
Então:
Passo 10
Sabemos que:
e
Passo 11
Substituindo esses valores:
Passo 12
Simplificando cada termo:
Passo 13
Fatorando :
Passo 14
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 15
Agora, substituindo de volta:
Passo 16
Cancelando :
Resposta
A expectativa de é:
Exercícios relacionados
Payback Simples e Descontado
Calcule o payback simples para o projeto considerando um investimento inicial de e um fluxo de caixa anual de .
Os elementos que formam o triângulo de Pascal são calculados por combinações, definidas por , onde e são números naturais e . Uma das várias relações interessantes entre os elementos que formam esse triângulo é a soma dos elementos de uma coluna. Podemos calcular o resultado usando a expressão:
Considere a expressão a seguir
Podemos afirmar que a expressão E é igual a:
a) 1250
b) 969
c) 898
d) 625
e) 596
A variável aleatória tem densidade igual a se , e . Calcule e verifique se e são independentes, justificando a sua conclusão.