A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional (X, Y) é dada por:
P(x, y)=2n(n+1) x=1,2, ldots, n e y=1,2, ldots, x
Determine:
d) E(Y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a expectativa de para a função de probabilidade conjunta dada. Estamos lidando com variáveis aleatórias bidimensionais no contexto de probabilidade discreta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a expectativa de uma variável aleatória a partir da sua função de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a expectativa de uma variável aleatória. A expectativa, ou valor esperado, de , denotada por , é basicamente uma média ponderada dos possíveis valores que pode assumir, onde os pesos são as probabilidades desses valores.

Passo 3

Dada a função de probabilidade conjunta:
P(x, y) = 2n(n+1) para x=1,2,ldots,n e y=1,2,ldots,x
Isso significa que para cada , pode assumir valores de 1 até , cada um com a mesma probabilidade.

Passo 4

Para encontrar , precisamos primeiro encontrar a função de probabilidade marginal de , ou seja, . Isso se obtém somando sobre todos os que permitem .

Passo 5

Observando a função P(Y = y) = sumx=y^n P(x, y) = sumx=y^n 2n(n+1) , vemos que para um dado , os valores possíveis de são de até . Portanto:

Passo 6

Simplificando a soma, temos P(Y = y) = (n - y + 1) cdot 2n(n+1) termos iguais a :

Passo 7

Agora, para encontrar E(Y) = sumy=1^n y cdot P(Y = y) = sumy=1^n y cdot 2(n - y + 1)n(n+1) , usamos a definição da expectativa:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão:
E(Y) = 2n(n+1) sumy=1^n y(n - y + 1)

Passo 9

Expandindo o termo dentro da soma:
y(n - y + 1) = y(n +1) - y^2
Então:
E(Y) = 2n(n+1) [ (n +1)sumy=1^n y - sumy=1^n y^2 ]

Passo 10

Sabemos que:
sumy=1^n y = n(n+1)2
e
sumy=1^n y^2 = n(n+1)(2n+1)6

Passo 11

Substituindo esses valores:
E(Y) = 2n(n+1) [ (n +1) cdot n(n+1)2 - n(n+1)(2n+1)6 ]

Passo 12

Simplificando cada termo:
= 2n(n+1) [ n(n+1)^22 - n(n+1)(2n+1)6 ]

Passo 13

Fatorando = 2n(n+1) cdot n(n+1)6 [ 3(n+1) - (2n+1) ] :

Passo 14

Simplificando dentro dos colchetes:
3(n+1) - (2n+1) = 3n +3 -2n -1 = n +2

Passo 15

Agora, substituindo de volta:
= 2n(n+1) cdot n(n+1)(n+2)6

Passo 16

Cancelando = 2(n+2)6 = n+23 :

Resposta

A expectativa de E(Y) = n + 23 é:

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