A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional é dada por: Determine: d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a expectativa de para a função de probabilidade conjunta dada. Estamos lidando com variáveis aleatórias bidimensionais no contexto de probabilidade discreta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a expectativa de uma variável aleatória a partir da sua função de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a expectativa de uma variável aleatória. A expectativa, ou valor esperado, de , denotada por , é basicamente uma média ponderada dos possíveis valores que pode assumir, onde os pesos são as probabilidades desses valores.

Passo 3

Dada a função de probabilidade conjunta: Isso significa que para cada , pode assumir valores de 1 até , cada um com a mesma probabilidade.

Passo 4

Para encontrar , precisamos primeiro encontrar a função de probabilidade marginal de , ou seja, . Isso se obtém somando sobre todos os que permitem .

Passo 5

Observando a função , vemos que para um dado , os valores possíveis de são de até . Portanto:

Passo 6

Simplificando a soma, temos termos iguais a :

Passo 7

Agora, para encontrar , usamos a definição da expectativa:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão:

Passo 9

Expandindo o termo dentro da soma: Então:

Passo 10

Sabemos que: e

Passo 11

Substituindo esses valores:

Passo 12

Simplificando cada termo:

Passo 13

Fatorando :

Passo 14

Simplificando dentro dos colchetes:

Passo 15

Agora, substituindo de volta:

Passo 16

Cancelando :

Resposta

A expectativa de é:

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