A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional
é dada por:
Determine:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a expectativa de
para a função de probabilidade conjunta dada. Estamos lidando com variáveis aleatórias bidimensionais no contexto de probabilidade discreta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a expectativa de uma variável aleatória a partir da sua função de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a expectativa de uma variável aleatória. A expectativa, ou valor esperado, de
, denotada por
, é basicamente uma média ponderada dos possíveis valores que
pode assumir, onde os pesos são as probabilidades desses valores.
Passo 3
Dada a função de probabilidade conjunta:
Isso significa que para cada
,
pode assumir valores de 1 até
, cada um com a mesma probabilidade.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos primeiro encontrar a função de probabilidade marginal de
, ou seja,
. Isso se obtém somando
sobre todos os
que permitem
.
Passo 5
Observando a função
, vemos que para um dado
, os valores possíveis de
são de
até
. Portanto:
Passo 6
Simplificando a soma, temos
termos iguais a
:
Passo 7
Agora, para encontrar
, usamos a definição da expectativa:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão:
Passo 9
Expandindo o termo dentro da soma:
Então:
Passo 10
Sabemos que:
e
Passo 11
Substituindo esses valores:
Passo 12
Simplificando cada termo:
Passo 13
Fatorando
:
Passo 14
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 15
Agora, substituindo de volta:
Passo 16
Cancelando
:
Resposta
A expectativa de
é: