Um elétron está confinado num potencial , onde é uma constante, e está sujeito para um campo elétrico ao longo do eixo . Encontrar os autovalores de energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um elétron que está preso em um potencial do tipo , que é basicamente um oscillador harmônico. Além disso, esse elétron está sujeito a um campo elétrico ao longo do eixo . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores de energia, ou seja, os níveis de energia que o elétron pode ter nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre oscilladores harmônicos e como campos elétricos afetam esses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o potencial total que o elétron sente. Temos duas contribuições:
  1. O potencial harmônico: ô
  2. O potencial do campo elétrico:
Então, o potencial total fica:

Passo 3

Para simplificar esse potencial, vamos completar o quadrado. Isso ajuda a reescrever a expressão de uma forma que se assemelha ao potencial harmônico padrão, mas com um deslocamento no eixo . Vamos reescrever :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta no :

Passo 4

Agora, observamos que o potencial se parece com o potencial de um oscillador harmônico, mas centrado em . Isso significa que o elétron está oscilando ao redor desse novo ponto de equilíbrio. A energia total do sistema será a soma da energia do oscillador harmônico e da energia constante causada pelo deslocamento.

Passo 5

Sabemos que os autovalores de energia para um oscillador harmônico são dados por:
onde e é a frequência angular, sendo a massa do elétron.

Passo 6

Considerando o deslocamento no potencial, também temos uma energia constante adicional:
Então, a energia total do sistema será a soma das energias do oscillador harmônico e dessa constante.

Resposta

Os autovalores de energia são dados por:
onde e .

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