Um mol de Gás Perfeito, monoatômico, inicialmente ocupou o volume de e esteve sob pressão de . A seguir, sua pressão foi aumentada até a volume constante e ele expandiu se isotermicamente até ocupar o volume de e estar sob pressão de . Finalmente, este gás foi comprimido e retornou ao estado inicial. (d)determine a eficiência térmica deste ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ciclo de um mol de gás perfeito monoatômico que passa por três processos diferentes: aumento de pressão a volume constante, expansão isotérmica e compressão de volta ao estado inicial. Precisamos determinar a eficiência térmica desse ciclo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as leis dos gases ideais, trabalho em processos termodinâmicos e a definição de eficiência térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três estados do gás no ciclo:
  • Estado 1: Volume , Pressão
  • Estado 2: Após aumento de pressão a volume constante, Pressão , Volume
  • Estado 3: Após expansão isotérmica, Volume , Pressão

Passo 3

Vamos calcular a temperatura em cada estado usando a equação dos gases ideais:
Onde:
  • é a pressão
  • é o volume
  • é a temperatura
Para o Estado 1:

Passo 4

No Estado 2, como o volume é constante, a temperatura muda proporcionalmente com a pressão:

Passo 5

Durante o processo isotérmico (Estado 2 para Estado 3), a temperatura permanece constante ( ). O trabalho realizado nessa expansão pode ser calculado pela fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Para determinar a eficiência térmica, precisamos calcular o calor fornecido e o trabalho total realizado no ciclo. A eficiência térmica ( ) é dada por:
í
Onde:
  • í é o trabalho líquido realizado pelo gás
  • é o calor absorvido pelo gás
Durante o processo isotérmico, o gás absorve calor igual ao trabalho realizado:
é
No processo a volume constante, o calor fornecido é dado por:
Para um gás monoatômico, :

Passo 7

Agora, somamos os calores fornecidos:
é
O trabalho líquido realizado no ciclo é igual ao trabalho realizado na expansão isotérmica, já que na compressão o trabalho é negativo e igual a :
í
Entretanto, isso indica que o trabalho líquido é zero, o que sugere que a eficiência térmica também seria zero. Contudo, isso não faz sentido físico para um ciclo. Vamos revisar os cálculos.
Voltando ao processo a volume constante, o trabalho não é realizado, pois o volume não muda ( ). Portanto, o único trabalho realizado é na expansão isotérmica:
í
A eficiência térmica então é:

Resposta

A eficiência térmica do ciclo é de aproximadamente 31,3%.

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