Um elétron na proximidade de um cilindro condutor infinito e uniforme, carregado, de raio R= 1,2 cm é colocado no repouso a uma distância de 4,2 cm do eixo do cilindro, e acelera até obter uma velocidade de 4.1 10^5 m / s a 6,5 cm do eixo do cilindro. Qual a densidade de carga linear do cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um elétron perto de um cilindro condutor infinito e uniformemente carregado. O cilindro tem raio $ R = 1,2 $ cm. O elétron começa parado a uma distância de $ 4,2 $ cm do eixo do cilindro e acelera até atingir uma velocidade de $ 4,1 \times 10^{5} $ m/s quando está a $ 6,5 $ cm do eixo. Nosso objetivo é encontrar a densidade de carga linear ($ \lambda $) do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por cilindros carregados, e relacionar a força elétrica com a aceleração do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ($ E $) criado por um cilindro infinito com densidade de carga linear $ \lambda $ na distância $ r $ do eixo é dado por:
E
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ 8,85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)).

Passo 3

A força elétrica ($ F $) que atua sobre o elétron devido a esse campo é:
F
onde $ e $ é a carga do elétron ($ 1,60 \times 10^{-19} $ C).

Passo 4

Essa força causa uma aceleração no elétron. Podemos usar o trabalho realizado pela força elétrica para igualar à energia cinética adquirida pelo elétron. A energia cinética ($ K $) é:
K
onde $ m $ é a massa do elétron ($ 9,11 \times 10^{-31} $ kg) e $ v $ é a velocidade final ($ 4,1 \times 10^{5} $ m/s).

Passo 5

O trabalho ($ W $) realizado pela força elétrica ao mover o elétron de $ r_1 = 4,2 $ cm para $ r_2 = 6,5 $ cm é:
W

Passo 6

Igualando o trabalho à energia cinética:
e lambda2pi varepsilon0 ln(r2r1) = 12 m v^2

Passo 7

Agora, vamos isolar $ \lambda $:
lambda

Passo 8

Vamos substituir os valores numéricos:
m = 9,11 times 10^-31 , kg
v = 4,1 times 10^5 , m/s
varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N·m^2)
e = 1,60 times 10^-19 , C
r1 = 4,2 , cm = 0,042 , m
r2 = 6,5 , cm = 0,065 , m
Primeiro, calculamos o logaritmo:
ln(r2r1) = ln(0,0650,042) approx ln(1,5476) approx 0,436

Passo 9

Agora, substituímos todos os valores na equação de $ \lambda $:
lambda
Calculando passo a passo:
lambda = 9,11 times 10^-31 times (4,1 times 10^5)^2 times pi times 8,85 times 10^-121,60 times 10^-19 times 0,436
Multiplicando os numeradores:
(4,1 times 10^5)^2 = 1,681 times 10^11 , m^2/s^2
9,11 times 10^-31 times 1,681 times 10^11 approx 1,533 times 10^-19
1,533 times 10^-19 times pi approx 4,821 times 10^-19
Denominador:
4,821 times 10^-19 times 8,85 times 10^-12 approx 4,271 times 10^-30

Passo 10

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador:
lambda = 4,271 times 10^-306,976 times 10^-20 approx 6,13 times 10^-11 , C/m

Resposta

A densidade de carga linear do cilindro é aproximadamente $ 6,1 \times 10^{-11} , C/m $.

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