Um elétron na proximidade de um cilindro condutor infinito e uniforme, carregado, de raio
é colocado no repouso a uma distância de
do eixo do cilindro, e acelera até obter uma velocidade de
a
do eixo do cilindro. Qual a densidade de carga linear do cilindro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um elétron perto de um cilindro condutor infinito e uniformemente carregado. O cilindro tem raio $ R = 1,2 $ cm. O elétron começa parado a uma distância de $ 4,2 $ cm do eixo do cilindro e acelera até atingir uma velocidade de $ 4,1 \times 10^{5} $ m/s quando está a $ 6,5 $ cm do eixo. Nosso objetivo é encontrar a densidade de carga linear ($ \lambda $) do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por cilindros carregados, e relacionar a força elétrica com a aceleração do elétron.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ($ E $) criado por um cilindro infinito com densidade de carga linear $ \lambda $ na distância $ r $ do eixo é dado por:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ 8,85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)).
Passo 3
A força elétrica ($ F $) que atua sobre o elétron devido a esse campo é:
onde $ e $ é a carga do elétron ($ 1,60 \times 10^{-19} $ C).
Passo 4
Essa força causa uma aceleração no elétron. Podemos usar o trabalho realizado pela força elétrica para igualar à energia cinética adquirida pelo elétron. A energia cinética ($ K $) é:
onde $ m $ é a massa do elétron ($ 9,11 \times 10^{-31} $ kg) e $ v $ é a velocidade final ($ 4,1 \times 10^{5} $ m/s).
Passo 5
O trabalho ($ W $) realizado pela força elétrica ao mover o elétron de $ r_1 = 4,2 $ cm para $ r_2 = 6,5 $ cm é:
Passo 6
Igualando o trabalho à energia cinética:
Passo 7
Agora, vamos isolar $ \lambda $:
Passo 8
Vamos substituir os valores numéricos:
Primeiro, calculamos o logaritmo:
Passo 9
Agora, substituímos todos os valores na equação de $ \lambda $:
Calculando passo a passo:
Multiplicando os numeradores:
Denominador:
Passo 10
Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
A densidade de carga linear do cilindro é aproximadamente $ 6,1 \times 10^{-11} , C/m $.