Duas esferas condutoras, ambas de raio 5,0 cm, se encontram carregadas; a primeira tem carga total de 2,3 nC, e a segunda 1,4 nC. Uma partícula de massa 23 g está carregada com 1,2 nC, e se encontra inicialmente no repouso a 14,2 cm do centro da primeira esfera, e 23,4 cm do centro da segunda; todo o sistema se encontra no vácuo. Esta partícula positiva é repelida até uma distância muito grande das esferas; com qual velocidade ela chega lá?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos duas esferas condutoras carregadas e uma partícula carregada que está parada entre elas. A primeira esfera tem uma carga de 2,3 , nC e a segunda tem 1,4 , nC. A partícula, que pesa 23 g e tem uma carga de 1,2 , nC, está a 14,2 cm do centro da primeira esfera e a 23,4 cm do centro da segunda. Tudo isso está no vácuo. Quando a partícula é liberada, ela é repelida pelas esferas e vai longe. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade ela chega bem longe. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que cargas elétricas iguais se repelem. Como a partícula tem carga positiva e as esferas também, a partícula será repelida por ambas. Vamos usar a Lei de Coulomb para calcular a força de repulsão entre cargas e a ideia de energia potencial elétrica para relacionar essa força com a velocidade da partícula.
A constante de Coulomb é k = 8,988 times 10^9 , N·m²/C²²².

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial elétrica inicial da partícula em relação às duas esferas. A energia potencial elétrica U entre duas cargas q1 e q2 separadas por uma distância r é dada por:
U = k q1 q2r
Temos que considerar as duas interações separadamente e depois somá-las.

Passo 4

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Cargas:
    • Primeira esfera: 2,3 , nC = 2,3 times 10^-9 , C
    • Segunda esfera: 1,4 , nC = 1,4 times 10^-9 , C
    • Partícula: 1,2 , nC = 1,2 times 10^-9 , C
  • Distâncias:
    • Primeira esfera: 14,2 , cm = 0,142 , m
    • Segunda esfera: 23,4 , cm = 0,234 , m
  • Massa da partícula: 23 , g = 0,023 , kg

Passo 5

Agora, calculamos a energia potencial elétrica em relação à primeira esfera:
U1 = k qesfera1 cdot qpartícular1 = 8,988 times 10^9 2,3 times 10^-9 cdot 1,2 times 10^-90,142 í
Vamos calcular:
U1 = 8,988 times 10^9 times 2,76 times 10^-180,142 approx 1,749 times 10^-6 , J

Passo 6

Agora, calculamos a energia potencial elétrica em relação à segunda esfera:
U2 = k qesfera2 cdot qpartícular2 = 8,988 times 10^9 1,4 times 10^-9 cdot 1,2 times 10^-90,234 í
Vamos calcular:
U2 = 8,988 times 10^9 times 1,68 times 10^-180,234 approx 6,46 times 10^-7 , J

Passo 7

A energia potencial total inicial Utotal é a soma das energias potenciais individuais:
Utotal = U1 + U2 = 1,749 times 10^-6 + 6,46 times 10^-7 approx 2,395 times 10^-6 , J

Passo 8

Quando a partícula é repelida para uma distância muito grande, a energia potencial elétrica tende a zero. Assim, toda a energia potencial inicial se transforma em energia cinética K da partícula. A energia cinética é dada por:
K = 12 m v^2
Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
Utotal = 12 m v^2

Passo 9

Vamos isolar a velocidade v:
v = raiz2 Utotalm = raiz2 times 2,395 times 10^-60,023
Calculando os valores:
v = raiz4,79 times 10^-60,023 approx raiz2,083 times 10^-4 approx 0,0144 , m/s

Resposta

A partícula chega a uma velocidade de aproximadamente 0,0144 , m/s quando está muito longe das esferas.

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