Duas esferas condutoras, ambas de raio
, se encontram carregadas; a primeira tem carga total de
, e a segunda
. Uma partícula de massa 23 g está carregada com
, e se encontra inicialmente no repouso a
do centro da primeira esfera, e
do centro da segunda; todo o sistema se encontra no vácuo. Esta partícula positiva é repelida até uma distância muito grande das esferas; com qual velocidade ela chega lá?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos duas esferas condutoras carregadas e uma partícula carregada que está parada entre elas. A primeira esfera tem uma carga de
e a segunda tem
. A partícula, que pesa 23 g e tem uma carga de
, está a 14,2 cm do centro da primeira esfera e a 23,4 cm do centro da segunda. Tudo isso está no vácuo. Quando a partícula é liberada, ela é repelida pelas esferas e vai longe. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade ela chega bem longe. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que cargas elétricas iguais se repelem. Como a partícula tem carga positiva e as esferas também, a partícula será repelida por ambas. Vamos usar a Lei de Coulomb para calcular a força de repulsão entre cargas e a ideia de energia potencial elétrica para relacionar essa força com a velocidade da partícula.
A constante de Coulomb é
.
Passo 3
Vamos calcular a energia potencial elétrica inicial da partícula em relação às duas esferas. A energia potencial elétrica
entre duas cargas
e
separadas por uma distância
é dada por:
Temos que considerar as duas interações separadamente e depois somá-las.
Passo 4
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
-
Cargas:
- Primeira esfera:
- Segunda esfera:
- Partícula:
- Primeira esfera:
-
Distâncias:
- Primeira esfera:
- Segunda esfera:
- Primeira esfera:
-
Massa da partícula:
Passo 5
Agora, calculamos a energia potencial elétrica em relação à primeira esfera:
Vamos calcular:
Passo 6
Agora, calculamos a energia potencial elétrica em relação à segunda esfera:
Vamos calcular:
Passo 7
A energia potencial total inicial
é a soma das energias potenciais individuais:
Passo 8
Quando a partícula é repelida para uma distância muito grande, a energia potencial elétrica tende a zero. Assim, toda a energia potencial inicial se transforma em energia cinética
da partícula. A energia cinética é dada por:
Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
Passo 9
Vamos isolar a velocidade
:
Calculando os valores:
Resposta
A partícula chega a uma velocidade de aproximadamente
quando está muito longe das esferas.