Uma esfera condutora de raio R está uniformemente carregada, com carga total Q>0. (a) Determine o potencial V em pontos internos e externos à esfera e trace um gráfico de V em função da distância ao centro. (b) Uma carga q<0 de massa m está inicialmente em repouso a uma distância 2 R do centro da esfera. A carga é acelerada até a superfície da esfera, colidindo com sua superfície (suponha a esfera fixa). Qual a expressão da velocidade da carga ao colidir?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática envolvendo uma esfera condutora carregada e o movimento de uma carga perto dela. No item (a), a gente precisa calcular o potencial elétrico $ V $ tanto dentro quanto fora da esfera e fazer um gráfico desse potencial em função da distância ao centro. No item (b), vamos analisar o movimento de uma carga negativa que é puxada pela esfera até colidir com ela, e descobrir a velocidade dela nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, potencial elétrico e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma esfera condutora carregada. Em uma esfera condutora, a carga elétrica se distribui uniformemente na superfície. Isso faz com que o campo elétrico dentro da esfera seja zero, e fora dela, o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 3

Para encontrar o potencial elétrico $ V $ fora da esfera, usamos a fórmula do potencial de uma carga pontual, já que o campo externo se comporta como se toda a carga estivesse no centro:
V
Aqui, $ r $ é a distância do ponto ao centro da esfera, $ Q $ é a carga total e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Dentro da esfera condutora, o campo elétrico é zero. Isso significa que não há variação no potencial elétrico dentro da esfera; ele é constante e igual ao potencial na superfície. Então, o potencial dentro da esfera é:
Vdentro(r) = 14pivarepsilon0 cdot QR
Aqui, $ R $ é o raio da esfera.

Passo 5

Agora, vamos resumir os resultados obtidos:
  • Para $ r \geq R $:
r >= R
  • Para $ r < R $:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr

Passo 6

Quanto ao gráfico de $ V $ em função de $ r $, ele será uma função que decresce proporcionalmente a $ \frac{1}{r} $ para $ r \geq R $ e é constante para $ r < R $. Isso significa que fora da esfera, o potencial diminui à medida que nos afastamos, e dentro da esfera, o potencial permanece constante.

Passo 7

Passando para o item (b), temos uma carga $ q < 0 $ de massa $ m $ inicialmente em repouso a uma distância $ 2R $ do centro da esfera. Queremos encontrar a velocidade dessa carga quando ela atinge a superfície da esfera.

Passo 8

Para isso, vamos usar o princípio de conservação da energia. A energia potencial elétrica inicial da carga será convertida em energia cinética na superfície da esfera. A energia potencial elétrica é dada por:
Uinicial = q cdot Vinicial
E a energia cinética final será:
Kfinal = 12 m v^2
Onde $ v $ é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 9

Primeiro, encontramos o potencial inicial $ V_{inicial} $ a uma distância $ 2R $:
Vinicial
Então, a energia potencial inicial é:
2R

Passo 10

Na superfície da esfera, o potencial é:
Vfinal = 14pivarepsilon0 cdot QR
A energia potencial final é:
Ufinal = q cdot 14pivarepsilon0 cdot QR

Passo 11

A variação da energia potencial é igual ao ganho de energia cinética:
Uinicial - Ufinal = Kfinal
Substituindo as expressões:
q cdot 14pivarepsilon0 cdot Q2R - q cdot 14pivarepsilon0 cdot QR = 12 m v^2

Passo 12

Simplificando a equação:
q cdot Q4pivarepsilon0 R ( 12 - 1 ) = 12 m v^2
q cdot Q4pivarepsilon0 R ( -12 ) = 12 m v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
- q cdot Q4pivarepsilon0 R = m v^2
Como a carga $ q $ é negativa, o lado esquerdo se torna positivo:
q

Passo 13

Finalmente, isolando $ v $:
v

Resposta

A velocidade da carga $ q $ ao colidir com a superfície da esfera é dada por:
q

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