Um elevador de passageiros consiste de uma cabine de 2000 lb e um contrapeso de 2200 lb conectado a um cabo e polias. Considere as massas dos cabos e polias iguais a zero. Qual é a aceleração para cima da cabine se as polias permitem correr livremente? E a tensão nos cabos? Quais as tensões nos cabos se as polias são travadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elevador que tem uma cabine de 2000 lb e um contrapeso de 2200 lb, ligados por cabos e polias. A gente precisa descobrir três coisas:
  1. Qual a aceleração para cima da cabine quando as polias funcionam livremente.
  2. Qual a tensão nos cabos nessa situação.
  3. Quais seriam as tensões nos cabos se as polias fossem travadas.
Para resolver isso, vamos usar as Leis de Newton, que nos ajudam a entender como as forças agem nos objetos e como elas afetam o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na cabine e no contrapeso. A cabine pesa 2000 lb e o contrapeso pesa 2200 lb. Como o sistema está conectado por cabos e polias, a diferença de peso vai causar uma aceleração.

Passo 3

Vamos usar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( ). Mas aqui, como estamos lidando com pesos em libras (lb), que já são uma medida de força, podemos trabalhar diretamente com eles.

Passo 4

A força resultante que vai causar a aceleração é a diferença entre o peso do contrapeso e o peso da cabine:

Passo 5

Agora, para achar a aceleração, precisamos considerar a massa total do sistema que está sendo acelerado. A massa total é a soma das massas da cabine e do contrapeso:
Aqui, é a aceleração da gravidade. Mas como estamos trabalhando com libras e queremos a aceleração em , podemos simplificar:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos calcular a tensão nos cabos quando as polias estão funcionando livremente. A tensão é a força que os cabos exercem para equilibrar as massas.
Para a cabine:
Sabendo que ,

Passo 7

Por fim, se as polias são travadas, a situação muda. As polias travadas implicam que há duas tensões nos cabos segurando a cabine e o contrapeso.
A tensão total será a soma das tensões individuais:
Como o contrapeso pesa mais, a tensão no cabo do contrapeso será maior. Porém, o cálculo detalhado dependeria de como as polias estão travadas, mas geralmente cada cabo teria uma tensão igual ao peso individual que está segurando.

Resposta

  1. A aceleração para cima da cabine é aproximadamente .
  2. A tensão nos cabos quando as polias correm livremente é cerca de .
  3. Se as polias são travadas, cada cabo suporta individualmente os pesos, resultando em tensões de na cabine e no contrapeso.

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