Um astronauta em treinamento para baixa gravidade da Lua treina em um plano inclinado e suspenso por um cabo. Suponha o cabo paralelo ao plano inclinado. Qual deve ser o ângulo de inclinação se as forças perpendiculares estão simulando as condições na Lua? Gravidade da Lua .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Um astronauta está treinando em um plano inclinado que está suspenso por um cabo, e queremos descobrir qual deve ser o ângulo desse plano para que as forças perpendiculares simulem a gravidade da Lua, que é de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em planos inclinados e entender como a gravidade afeta essas forças.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando no astronauta no plano inclinado. As principais forças envolvidas são:
  1. Peso do astronauta ( ): Atua verticalmente para baixo e tem magnitude , onde é a massa do astronauta e .
  2. Força Normal ( ): Atua perpendicularmente ao plano inclinado.
  3. Força de Tensão ( ) no cabo: Atua paralelamente ao plano inclinado.

Passo 3

Queremos que a força perpendicular ( ) simule a gravidade da Lua. Isso significa que a força normal deve ser igual ao peso do astronauta na gravidade lunar:

Passo 4

Sabemos que a força normal em um plano inclinado é dada por:
Onde é o ângulo de inclinação do plano. Substituindo (a gravidade da Terra normalmente considerada como ):

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (a massa do astronauta cancela):
Agora, isolamos :

Passo 6

Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo de inclinação do plano deve ser aproximadamente para simular as condições de baixa gravidade da Lua.

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