Um elevador sobe com uma aceleração, pra cima de 2 m / s^2. No instante em que sua velocidade é de 4 m / s, um parafuso cai do teto do elevador, que está a 2,5 m do seu piso. Calcule o tempo que o parafuso gasta para atingir o piso. Calcule seu deslocamento em relação ao solo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elevador que está subindo com uma aceleração de e, no momento em que sua velocidade é de , um parafuso cai do teto, que está a do piso do elevador. Precisamos calcular dois pontos:
  1. O tempo que o parafuso leva para atingir o piso.
  2. O deslocamento do parafuso em relação ao solo.
Vamos usar os conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Aceleração do elevador ( ): para cima.
  • Velocidade do elevador no instante do parafuso cair ( ): para cima.
  • Altura do parafuso em relação ao piso do elevador ( ): .
  • Aceleração da gravidade ( ): para baixo.
Quando o parafuso cai, ele herda a velocidade do elevador, ou seja, começa com para cima. Depois, ele é acelerado pela gravidade para baixo. Vamos usar a equação do movimento para calcular o tempo que leva para o parafuso atingir o piso.

Passo 3

A equação que vamos usar é a da posição em função do tempo:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
Onde:
  • 0 = 2,5 , m + 4 , m/s cdot t - 12 cdot 9,8 , m/s^2 cdot t^2 é a posição final.
  • 0 = 2,5 + 4t - 4,9t^2 é a posição inicial.
  • 4,9t^2 - 4t - 2,5 = 0 é a velocidade inicial.
  • t = -b pm raizb^2 - 4ac2a é a aceleração.
  • De é o tempo.
Definindo o piso do elevador como a posição zero ( t = 4 pm raiz659,8 ), temos:
t = 4 pm 8,069,8
Simplificando:
t = 4 + 8,069,8 approx 12,069,8 approx 1,23 , s
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática na forma . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante ( ):
Agora, aplicando na fórmula:
A raiz quadrada de 65 é aproximadamente 8,06, então:
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos somente a solução positiva:

Passo 4

Agora, vamos calcular o deslocamento do parafuso em relação ao solo. Como o elevador está se movendo e acelerando, precisamos levar isso em conta.
A posição do piso do elevador em relação ao solo após o tempo se<=vador(t) = v0 t + 12 ae t^2 = 4t + 12 cdot 2 cdot t^2 = 4t + t^2 é dada por:
sparafuso(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2 = 2,5 + 4t - 4,9t^2
A posição do parafuso em relação ao solo é:
De
Para encontrar o deslocamento relativo, basta calcular:
De
Substituindo :
O sinal negativo indica que o parafuso está abaixo da posição inicial em relação ao solo.

Resposta

O parafuso leva aproximadamente para atingir o piso do elevador. O deslocamento do parafuso em relação ao solo é de , indicando que ele está abaixo da posição inicial em relação ao solo.

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