A posição de uma partícula que se desloca ao longo de um eixo x é dada por: x=a t^3-b t^4, onde a e b são constantes. Se x for dada em metros e t em segundos, mostre que a deve ser dado em m / s^3 e que b deve ser dado em m / s^4. Obtenha a expressão da velocidade da partícula. Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição de uma partícula ao longo de um eixo x, dada pela equação , onde e são constantes. Somos pedidos para descobrir as unidades de e , além de encontrar as expressões para a velocidade e a aceleração da partícula. Para isso, vamos usar noções de cinemática e derivadas do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as unidades de x = a t^3 - b t^4 e [a] times [t]^3 = m . Sabemos que [a] times s^3 = m Rightarrow [a] = ms^3 está em metros (m) e [b] times [t]^4 = m em segundos (s). A equação é:
[b] times s^4 = m Rightarrow [b] = ms^4
Para que as unidades de cada termo sejam consistentes, as unidades de e devem ser iguais a metros.
  • Para :
  • Para :
Então, tem unidades de metros por segundo ao cubo ( ) e tem unidades de metros por segundo à quarta ( ).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dxdt = ddt ( a t^3 - b t^4 ) em relação a v(t) = 3a t^2 - 4b t^3 :
Calculando as derivadas termo a termo:
Então, a expressão da velocidade é .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a expressão da aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar a(t) = dvdt = ddt ( 3a t^2 - 4b t^3 ) em relação a a(t) = 6a t - 12b t^2 :
Calculando as derivadas termo a termo:
Então, a expressão da aceleração é .

Resposta

  • Unidade de :
  • Unidade de :
  • Velocidade da partícula:
  • Aceleração da partícula:

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