Em um recente estudo de pesquisa relativo a nutrição, foi relatado que apenas 2% das crianças americanas, com idade entre 6 e 10 anos comiam o número de porções recomendado para os cinco grupos principais de alimentos, cada dia. Certo estado realizou uma campanha de nutrição através das escolas elementares, jornais e televisão. Depois da campanha, obteve-se uma amostra aleatória de 500 crianças nesse grupo de idade, e 16 delas comiam o número recomendado de porções por dia. Realize o teste de hipótese apropriado para determinar se a proporção de crianças que comem o número recomendado de porções por dia aumentou. Use alpha = 0,05.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolvê-la. A gente tem um estudo sobre nutrição em crianças americanas entre 6 e 10 anos. Antes da campanha de nutrição, só 2% das crianças comiam a quantidade recomendada de porções dos cinco grupos principais de alimentos por dia. Depois da campanha, uma amostra de 500 crianças mostrou que 16 delas estavam seguindo a recomendação. A dúvida é: essa campanha realmente aumentou a porcentagem de crianças que seguem a recomendação? Para descobrir isso, vamos usar teste de hipótese para proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ($ H_0 H0 éó H_a $) é o que queremos provar.
  • Hipótese nula ($ H_0 $): A proporção de crianças que comem a quantidade recomendada é igual ou menor que 2%. Ou seja, $ p \leq 0,02 $.
  • Hipótese alternativa ($ H_a $): A proporção de crianças que comem a quantidade recomendada é maior que 2%. Ou seja, $ p > 0,02 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Aqui, usamos o teste z para proporção. Primeiro, vamos calcular a proporção observada na amostra ($ \hat{p} $):
p
Em seguida, usamos a fórmula do teste z:
p = 16500 = 0,032 ou 3,2%
Onde:
  • $ p_0 = 0,02 $ (proporção inicial)
  • $ n = 500 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância $ \alpha = 0,05 $. Como é um teste unilateral (queremos saber se aumentou), procuramos o valor z que corresponde a 95% da distribuição à esquerda.
O valor crítico para $ \alpha = 0,05 $ é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Comparamos a estatística de teste $ z = 1,918 $ com o valor crítico $ z_{crítico} = 1,645 $:
  • Se $ z > z_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ z \leq z_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.
Aqui, $ 1,918 > 1,645 $, então rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, há evidências suficientes para concluir que a proporção de crianças que comem a quantidade recomendada de porções por dia aumentou após a campanha de nutrição, considerando um nível de significância de 5%.

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