Em uma empresa com 1000 funcionários, deseja-se estimar a porcentagem dos favoráveis a certo treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória simples que garanta um erro amostral não superior a 5 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma empresa com 1000 funcionários e a gente quer descobrir qual a porcentagem deles que está a favor de um certo treinamento. O conteúdo que vamos usar aqui é de Estatística, mais especificamente de amostragem e estimação de proporções. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o tamanho de uma amostra que nos dá uma margem de erro de no máximo 5%.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “margem de erro”. Ela nos diz o quanto a nossa estimativa pode variar em relação ao valor real na população. No caso, queremos que essa variação seja de no máximo 5%.

Passo 3

Para calcular o tamanho da amostra, vamos usar a fórmula para estimar proporções com uma margem de erro específica:
n = Z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
  • $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança escolhido.
  • $ p $ é a proporção estimada da população.
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 4

Como não sabemos a proporção $ p $ dos favoráveis ao treinamento, o mais seguro é usar $ p = 0,5 $. Isso maximiza o valor de $ p \cdot (1 - p) $ e garante que nossa amostra seja suficientemente grande.

Passo 5

Escolhemos um nível de confiança comum, como 95%. O valor de $ Z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.

Passo 6

A margem de erro $ E $ é de 5%, ou seja, 0,05.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
n = (1,96)^2 cdot 0,5 cdot (1 - 0,5)(0,05)^2 approx 3,8416 cdot 0,250,0025 = 0,96040,0025 = 384,16

Passo 8

Como a população é finita (1000 funcionários), devemos aplicar a Correção para População Finita:
najustado = n1 + n - 1N
Onde $ N = 1000 $.
Substituindo:
N = 1000

Resposta

O tamanho da amostra necessária é de aproximadamente 278 funcionários para garantir um erro amostral não superior a 5 %.

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