Sabendo que certa população é constituída dos valores 4, 5, 6, 9; após o cálculo de todas as amostras possíveis de tamanho 2 , com reposição, apresente o seguinte:
b) Determinação da média e do desvio padrão da distribuição amostral das médias.
b) Determinação da média e do desvio padrão da distribuição amostral das médias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma população com os valores 4, 5, 6 e 9. A tarefa é formar todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição, e depois calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral dessas médias. Para isso, vamos precisar entender de amostragem com reposição, cálculo de médias e desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis amostras de tamanho 2 com reposição. Como a reposição permite que o mesmo número apareça mais de uma vez, e a ordem importa, temos:
- (4, 4)
- (4, 5)
- (4, 6)
- (4, 9)
- (5, 4)
- (5, 5)
- (5, 6)
- (5, 9)
- (6, 4)
- (6, 5)
- (6, 6)
- (6, 9)
- (9, 4)
- (9, 5)
- (9, 6)
- (9, 9)
São 16 amostras no total.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média de cada uma dessas amostras. A média de dois números é simplesmente a soma deles dividida por 2.
- (4, 4): (4 + 4) / 2 = 4
- (4, 5): (4 + 5) / 2 = 4,5
- (4, 6): (4 + 6) / 2 = 5
- (4, 9): (4 + 9) / 2 = 6,5
- (5, 4): (5 + 4) / 2 = 4,5
- (5, 5): (5 + 5) / 2 = 5
- (5, 6): (5 + 6) / 2 = 5,5
- (5, 9): (5 + 9) / 2 = 7
- (6, 4): (6 + 4) / 2 = 5
- (6, 5): (6 + 5) / 2 = 5,5
- (6, 6): (6 + 6) / 2 = 6
- (6, 9): (6 + 9) / 2 = 7,5
- (9, 4): (9 + 4) / 2 = 6,5
- (9, 5): (9 + 5) / 2 = 7
- (9, 6): (9 + 6) / 2 = 7,5
- (9, 9): (9 + 9) / 2 = 9
Passo 4
Vamos agora encontrar a média da distribuição amostral das médias que acabamos de calcular. Para isso, somamos todas as médias e dividimos pelo número total de amostras.
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o desvio padrão da distribuição amostral das médias. O desvio padrão mede o quanto os valores se espalham em relação à média. A fórmula para o desvio padrão é:
Onde:
- $ \sigma $ é o desvio padrão
- $ N $ é o número total de amostras
- $ x_i $ são as médias individuais
- $ \mu $ é a média das médias
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \mu)^2 $:
- $ (4 - 5,75)^2 = 3,0625 $
- $ (4,5 - 5,75)^2 = 1,5625 $
- $ (5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
- $ (6,5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
- $ (4,5 - 5,75)^2 = 1,5625 $
- $ (5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
- $ (5,5 - 5,75)^2 = 0,0625 $
- $ (7 - 5,75)^2 = 1,5625 $
- $ (5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
- $ (5,5 - 5,75)^2 = 0,0625 $
- $ (6 - 5,75)^2 = 0,0625 $
- $ (7,5 - 5,75)^2 = 3,0625 $
- $ (6,5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
- $ (7 - 5,75)^2 = 1,5625 $
- $ (7,5 - 5,75)^2 = 3,0625 $
- $ (9 - 5,75)^2 = 10,5625 $
Somando todos esses valores:
Agora, aplicando na fórmula:
Resposta
A média da distribuição amostral das médias é 5,75 e o desvio padrão é aproximadamente 1,333.