Sabendo que certa população é constituída dos valores 4, 5, 6, 9; após o cálculo de todas as amostras possíveis de tamanho 2 , com reposição, apresente o seguinte:
b) Determinação da média e do desvio padrão da distribuição amostral das médias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma população com os valores 4, 5, 6 e 9. A tarefa é formar todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição, e depois calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral dessas médias. Para isso, vamos precisar entender de amostragem com reposição, cálculo de médias e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis amostras de tamanho 2 com reposição. Como a reposição permite que o mesmo número apareça mais de uma vez, e a ordem importa, temos:
  1. (4, 4)
  2. (4, 5)
  3. (4, 6)
  4. (4, 9)
  5. (5, 4)
  6. (5, 5)
  7. (5, 6)
  8. (5, 9)
  9. (6, 4)
  10. (6, 5)
  11. (6, 6)
  12. (6, 9)
  13. (9, 4)
  14. (9, 5)
  15. (9, 6)
  16. (9, 9)
São 16 amostras no total.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de cada uma dessas amostras. A média de dois números é simplesmente a soma deles dividida por 2.
  1. (4, 4): (4 + 4) / 2 = 4
  2. (4, 5): (4 + 5) / 2 = 4,5
  3. (4, 6): (4 + 6) / 2 = 5
  4. (4, 9): (4 + 9) / 2 = 6,5
  5. (5, 4): (5 + 4) / 2 = 4,5
  6. (5, 5): (5 + 5) / 2 = 5
  7. (5, 6): (5 + 6) / 2 = 5,5
  8. (5, 9): (5 + 9) / 2 = 7
  9. (6, 4): (6 + 4) / 2 = 5
  10. (6, 5): (6 + 5) / 2 = 5,5
  11. (6, 6): (6 + 6) / 2 = 6
  12. (6, 9): (6 + 9) / 2 = 7,5
  13. (9, 4): (9 + 4) / 2 = 6,5
  14. (9, 5): (9 + 5) / 2 = 7
  15. (9, 6): (9 + 6) / 2 = 7,5
  16. (9, 9): (9 + 9) / 2 = 9

Passo 4

Vamos agora encontrar a média da distribuição amostral das médias que acabamos de calcular. Para isso, somamos todas as médias e dividimos pelo número total de amostras.
Média = 4 + 4,5 + 5 + 6,5 + 4,5 + 5 + 5,5 + 7 + 5 + 5,5 + 6 + 7,5 + 6,5 + 7 + 7,5 + 916 é
Calculando:
Média = 4 + 4,5 + 5 + 6,5 + 4,5 + 5 + 5,5 + 7 + 5 + 5,5 + 6 + 7,5 + 6,5 + 7 + 7,5 + 916 = 9216 = 5,75 é

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão da distribuição amostral das médias. O desvio padrão mede o quanto os valores se espalham em relação à média. A fórmula para o desvio padrão é:
sigma = raiz1N sumi=1^N (xi - mu)^2
Onde:
  • $ \sigma $ é o desvio padrão
  • $ N $ é o número total de amostras
  • $ x_i $ são as médias individuais
  • $ \mu $ é a média das médias
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \mu)^2 $:
  1. $ (4 - 5,75)^2 = 3,0625 $
  2. $ (4,5 - 5,75)^2 = 1,5625 $
  3. $ (5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
  4. $ (6,5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
  5. $ (4,5 - 5,75)^2 = 1,5625 $
  6. $ (5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
  7. $ (5,5 - 5,75)^2 = 0,0625 $
  8. $ (7 - 5,75)^2 = 1,5625 $
  9. $ (5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
  10. $ (5,5 - 5,75)^2 = 0,0625 $
  11. $ (6 - 5,75)^2 = 0,0625 $
  12. $ (7,5 - 5,75)^2 = 3,0625 $
  13. $ (6,5 - 5,75)^2 = 0,5625 $
  14. $ (7 - 5,75)^2 = 1,5625 $
  15. $ (7,5 - 5,75)^2 = 3,0625 $
  16. $ (9 - 5,75)^2 = 10,5625 $
Somando todos esses valores:
sigma
Agora, aplicando na fórmula:
N

Resposta

A média da distribuição amostral das médias é 5,75 e o desvio padrão é aproximadamente 1,333.

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