Uma empresa fabrica tubos de pitot com diâmetro de 7,2 mm. A tolerância especificada, por norma, para a fabricação é de pm 0,2 mm para este diâmetro. Uma amostra aleatória de 10 tubos foram selecionados e medidos com um micrômetro. O resultado está na tabela:
7,198 7,110
7,195 7,315
7,117 7,248
7,038 7,305
7,148 7,326
*Todas as medidas em mm
Qual seria a tolerância mínima que permitiria um controle por amostragem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma empresa que fabrica tubos de pitot com diâmetro de 7,2 mm e tem uma tolerância especificada de pm 0,2 , mm. Isso significa que os tubos produzidos devem ter diâmetros entre 7,0 mm e 7,4 mm para estarem dentro das especificações. A gente coletou uma amostra de 10 tubos e mediu seus diâmetros. A questão pede para encontrar qual seria a tolerância mínima que permitiria um controle por amostragem. Ou seja, queremos saber qual o menor intervalo de tolerância que a gente pode usar para monitorar a produção eficazmente com base na amostra que temos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “controle por amostragem”. Basicamente, é um método para verificar se o processo de produção está controlado, observando apenas uma parte da produção (a amostra) em vez de verificar cada produto individualmente. Para isso, usamos a variabilidade dos dados da amostra para determinar limites de controle.

Passo 3

Vamos começar calculando a média ( barx) e o desvio padrão ( s) das medidas da amostra. Esses valores nos ajudarão a entender a tendência central e a dispersão dos diâmetros dos tubos produzidos.
Dados da amostra:
7,198; 7,110; 7,195; 7,315; 7,117; 7,248; 7,038; 7,305; 7,148; 7,326 mm

Passo 4

Calculando a média ( barx):
barx = 7,198 + 7,110 + 7,195 + 7,315 + 7,117 + 7,248 + 7,038 + 7,305 + 7,148 + 7,32610
barx = 72,00010 = 7,200 , mm

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão ( s). Primeiro, calculamos cada desvio da média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e depois dividimos pelo número de observações menos um.
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(7,198 - 7,200)^2 = 0,000004
(7,110 - 7,200)^2 = 0,008100
(7,195 - 7,200)^2 = 0,000025
(7,315 - 7,200)^2 = 0,013225
(7,117 - 7,200)^2 = 0,006889
(7,248 - 7,200)^2 = 0,002304
(7,038 - 7,200)^2 = 0,026464
(7,305 - 7,200)^2 = 0,011025
(7,148 - 7,200)^2 = 0,002704
(7,326 - 7,200)^2 = 0,015876
Somando todos esses valores:
0,000004 + 0,008100 + 0,000025 + 0,013225 + 0,006889 + 0,002304 + 0,026464 + 0,011025 + 0,002704 + 0,015876 = 0,085216
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos um (10 - 1 = 9):
0,0852169 = 0,009468
E tiramos a raiz quadrada para achar o desvio padrão:
s = raiz0,009468 approx 0,0973 , mm

Passo 6

Com a média e o desvio padrão calculados, podemos determinar a tolerância mínima usando o conceito de intervalo de confiança para o controle de qualidade. Uma abordagem comum é usar o intervalo barx pm z cdot sraizn, onde z é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
Assumindo que queremos um nível de confiança de 95%, o valor de z é aproximadamente 1,96.
Calculando o erro padrão:
sraizn = 0,0973raiz10 approx 0,0308 , mm
Então, o intervalo de confiança é:
7,200 pm 1,96 cdot 0,0308
7,200 pm 0,0604
Isso dá um intervalo de aproximadamente [7,1396 mm, 7,2604 mm].

Passo 7

Para estabelecer a tolerância mínima que permita o controle por amostragem, queremos que esse intervalo de confiança esteja dentro dos limites de tolerância especificados. Portanto, a tolerância mínima será o dobro do valor de z cdot sraizn, já que consideramos ambos os lados da média.
To<=rância mínima = 2 cdot 0,0604 approx 0,1208 , mm âí

Resposta

A tolerância mínima que permitiria um controle por amostragem é aproximadamente pm 0,12 , mm.

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