Uma empresa industrial C está estudando a compra de um grande lote de componentes produzidos pela companhia P. Segundo P, o seu processo de produção garante que a proporção p de componentes fora das especificações técnicas requeridas por C não é superior a 0,10 (ou 10 % ). O Departamento de Compras especificou o seguinte procedimento para decidir se a compra será realizada: 20 componentes do lote serão escolhidos ao acaso e testados, e a compra só será realizada se no máximo existir um componente fora das especificações. Na situação descrita, a probabilidade do lote ser rejeitado para valores de p menores ou iguais a 0,10 é chamada risco do produtor, enquanto a probabilidade do lote ser aceito para valores de p maiores que 0,10 é chamada risco do consumidor. a) Calcule a probabilidade do lote ser rejeitado para p = 0,01 ; 0,05 ; 0,10 ; 0,20 ; 0,30. Faça um gráfico dos valores obtidos.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma empresa que quer comprar um lote de componentes, mas só vai aceitar se, em uma amostra de 20 componentes, no máximo 1 estiver fora das especificações. Estamos lidando com probabilidade, especificamente distribuição binomial, para calcular a chance do lote ser rejeitado para diferentes valores de (proporção de componentes defeituosos). Precisamos calcular essas probabilidades para , , , e e depois fazer um gráfico com esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a situação segue uma distribuição binomial, onde:
  • (número de tentativas ou componentes testados),
  • é a probabilidade de sucesso (no nosso caso, um componente estar defeituoso),
  • é o número de sucessos (componentes defeituosos encontrados).
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde é o coeficiente binomial.

Passo 3

Queremos a probabilidade do lote ser rejeitado, ou seja, ter mais de 1 componente defeituoso na amostra de 20. Isso significa .
Podemos calcular isso usando:

Passo 4

Vamos calcular e para cada valor de .
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos resumir os resultados obtidos:

Resposta

As probabilidades do lote ser rejeitado são:
  • Para : 1,63%
  • Para : 26,41%
  • Para : 60,82%
  • Para : 93,13%
  • Para : 99,60%
Esses valores podem ser representados em um gráfico onde o eixo mostra os valores de e o eixo mostra a probabilidade de rejeição.

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