Uma empresa industrial
está estudando a compra de um grande lote de componentes produzidos pela companhia P. Segundo P, o seu processo de produção garante que a proporção
de componentes fora das especificações técnicas requeridas por C não é superior a 0,10 (ou
). O Departamento de Compras especificou o seguinte procedimento para decidir se a compra será realizada: 20 componentes do lote serão escolhidos ao acaso e testados, e a compra só será realizada se no máximo existir um componente fora das especificações. Na situação descrita, a probabilidade do lote ser rejeitado para valores de
menores ou iguais a 0,10 é chamada risco do produtor, enquanto a probabilidade do lote ser aceito para valores de
maiores que 0,10 é chamada risco do consumidor. a) Calcule a probabilidade do lote ser rejeitado para
. Faça um gráfico dos valores obtidos.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma empresa que quer comprar um lote de componentes, mas só vai aceitar se, em uma amostra de 20 componentes, no máximo 1 estiver fora das especificações. Estamos lidando com probabilidade, especificamente distribuição binomial, para calcular a chance do lote ser rejeitado para diferentes valores de
(proporção de componentes defeituosos). Precisamos calcular essas probabilidades para
,
,
,
e
e depois fazer um gráfico com esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a situação segue uma distribuição binomial, onde:
-
(número de tentativas ou componentes testados), -
é a probabilidade de sucesso (no nosso caso, um componente estar defeituoso), -
é o número de sucessos (componentes defeituosos encontrados).
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde
é o coeficiente binomial.
Passo 3
Queremos a probabilidade do lote ser rejeitado, ou seja, ter mais de 1 componente defeituoso na amostra de 20. Isso significa
.
Podemos calcular isso usando:
Passo 4
Vamos calcular
e
para cada valor de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos resumir os resultados obtidos:
Resposta
As probabilidades do lote ser rejeitado são:
- Para
: 1,63% - Para
: 26,41% - Para
: 60,82% - Para
: 93,13% - Para
: 99,60%
Esses valores podem ser representados em um gráfico onde o eixo
mostra os valores de
e o eixo
mostra a probabilidade de rejeição.