Uma agência de propaganda afirma que a campanha promocional recente atingiu 45% das famílias de uma comunidade. A empresa interessada (que pagou a propaganda) duvida dessa percentagem e resolve fazer um levantamento para verificar a autenticidade da afirmativa. São pesquisadas 100 famílias, das quais 30 tinham conhecimento da propaganda. A um nível de 5 % de significância, você pode concluir que a empresa tem razão em duvidar da afirmação da agência de propaganda? Nesta pesquisa, o que representam erro do tipo I e o erro do tipo II?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que uma agência de propaganda disse que sua campanha alcançou 45% das famílias na comunidade. A empresa que contratou a propaganda desconfiou disso e fez uma pesquisa com 100 famílias, descobrindo que 30 delas conheceram a propaganda. Vamos usar Teste de Hipótese para uma proporção para verificar se realmente a porcentagem anunciada pela agência está correta. Precisaremos de conceito de estatística inferencial, especialmente testes de hipóteses para proporções, e entender os erros tipo I e tipo II.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese Nula ( ): A proporção real de famílias atingidas pela propaganda é 45%, ou seja, .
  • Hipótese Alternativa ( ): A proporção real de famílias atingidas é diferente de 45%, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a proporção observada na amostra. Das 100 famílias pesquisadas, 30 conheceram a propaganda. Então, a proporção amostral ( ) é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o erro padrão da proporção sob a hip��tese nula. A fórmula do erro padrão ( ) é:

Passo 5

Vamos calcular o valor z, que nos ajuda a entender quantos erros padrão a nossa proporção observada está da hipótese nula:

Passo 6

Agora, vamos verificar o valor crítico para um nível de significância de 5% em um teste bicaudal. Para , os valores críticos de z são aproximadamente -1,96 e 1,96.

Passo 7

Comparando o nosso valor z calculado ( ) com os valores críticos (-1,96 e 1,96), vemos que . Isso significa que o valor z está na região de rejeição.

Passo 8

Como nosso valor z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula. Ou seja, temos evidências suficientes para concluir que a proporção de famílias atingidas pela propaganda não é 45%.

Passo 9

Agora, sobre os erros tipo I e tipo II:
  • Erro do Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Neste caso, seria concluir que a proporção é diferente de 45% quando, na verdade, é 45%.
  • Erro do Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando a alternativa é verdadeira. Ou seja, dizer que a proporção é 45% quando na verdade ela é diferente.

Resposta

Concluímos, com 5% de significância, que a empresa tem razão em duvidar da afirmação da agência de propaganda de que 45% das famílias foram atingidas pela campanha.

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