Uma empresa de prestação de serviços necessita alocar vigilantes em diversos clientes. No entanto, durante o levantamento de necessidade constatou-se que a demanda de vigilantes variava em relação ao dia da semana, de acordo com a tabela a seguir:
Dia Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Necessidade 25 20 30 24 44 12 22
Sabe-se ainda que a semana de trabalho é de cinco dias (ex: se o vigilante inicia seu trabalho na segunda feira, então ele o encerra na sexta-feira). O salário semanal do vigilante é de R . Pede-se um esquema de alocação de pessoal que cubra as necessidades diárias de vigilância durante uma semana com o menor custo possivel.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que precisa contratar vigilantes para atender diferentes demandas durante a semana. A demanda varia de dia para dia, conforme a tabela fornecida. Cada vigilante trabalha cinco dias consecutivos e recebe R$ 600,00 por semana. Nosso objetivo é encontrar a melhor maneira de alocar esses vigilantes de forma a cobrir todas as necessidades diárias gastando o mínimo possível.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Programação Linear Inteira, que nos ajuda a otimizar recursos limitados atendendo a certas restrições.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todas as possíveis maneiras de iniciar a jornada de trabalho dos vigilantes. Como cada vigilante trabalha cinco dias consecutivos, as possíveis sequências de trabalho na semana de sete dias (Seg a Dom) são:
  1. Seg a Sex
  2. Ter a Sáb
  3. Qua a Dom
Vamos representar cada uma dessas opções como variáveis:
  • : Número de vigilantes que começam na segunda-feira e trabalham de segunda a sexta.
  • : Número de vigilantes que começam na terça-feira e trabalham de terça a sábado.
  • : Número de vigilantes que começam na quarta-feira e trabalham de quarta a domingo.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a quantidade de vigilantes alocados cubra a demanda de cada dia. Vamos analisar cada dia da semana e ver quantos vigilantes estão trabalhando em cada um, dependendo de onde começaram:
  • Segunda (Seg): Somente os que começam na segunda ( ).
  • Terça (Ter): Os que começam na segunda ( ) e os que começam na terça ( ).
  • Quarta (Qua): Os que começam na segunda ( ), na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Quinta (Qui): Os que começam na segunda ( ), na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Sexta (Sex): Os que começam na segunda ( ), na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Sábado (Sáb): Os que começam na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Domingo (Dom): Somente os que começam na quarta ( ).

Passo 4

Com base nisso, podemos escrever as restrições para cada dia, garantindo que a soma dos vigilantes alocados nos dias correspondentes cubra a demanda:
x1 >= 25 & (Segunda) x1 + x2 >= 20 & (Terça) x1 + x2 + x3 >= 30 & (Quarta) x1 + x2 + x3 >= 24 & (Quinta) x1 + x2 + x3 >= 44 & (Sexta) x2 + x3 >= 12 & (Sábado) x3 >= 22 & (Domingo) çá
Além disso, queremos minimizar o custo total, que é dado por:
Custo Total = 600(x1 + x2 + x3)

Passo 5

Agora, nosso objetivo é minimizar x3 >= 22 enquanto respeitamos todas as restrições acima. Vamos resolver isso passo a passo.
Primeiro, observamos a restrição de domingo:
x1 + x2 + x3 >= 44
Então, x1 + x2 >= 44 - 22 x1 + x2 >= 22 deve ser pelo menos 22.
Em seguida, consideramos a restrição de sexta-feira, que exige:
x1 >= 25
Já sabemos que , então:
Também temos a restrição de segunda-feira:
Com e , fica claro que já cobre mais da necessidade combinada de segunda e terça.

Passo 6

Vamos agora verificar a quarta e quinta-feira:
x1 + x2 + x3 >= 30 x1 + x2 + x3 >= 24
Como já temos x1 + x2 >= 20 , essas restrições já estão satisfeitas.
Para a terça-feira:
x2 + x3 >= 12
Como , isso também está satisfeito.
Por fim, para o sábado:
Com , isso é atendido independentemente de .

Passo 7

Agora, para minimizar o número de vigilantes, mantemos 25 + x2 >= 22 x2 >= -3 (já que ) e . Precisamos determinar .
Sabemos que :
Como não podemos ter um número negativo de vigilantes, pode ser 0.

Passo 8

Vamos verificar se todas as demandas são atendidas com , e :
  • Segunda: 25 vigilantes (necessidade: 25) ✔️
  • Terça: 25 + 0 = 25 (necessidade: 20) ✔️
  • Quarta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 30) ✔️
  • Quinta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 24) ✔️
  • Sexta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 44) ✔️
  • Sábado: 0 + 22 = 22 (necessidade: 12) ✔️
  • Domingo: 22 (necessidade: 22) ✔️
Tudo está atendido com essas alocações.

Resposta

Para atender todas as demandas diárias com o menor custo possível, a empresa deve contratar 25 vigilantes que trabalham de segunda a sexta e 22 vigilantes que trabalham de quarta a domingo. O custo total será de:
600 times (25 + 0 + 22) = 600 times 47 = R$ 28.200,00

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