Uma empresa de prestação de serviços necessita alocar vigilantes em diversos clientes. No entanto, durante o levantamento de necessidade constatou-se que a demanda de vigilantes variava em relação ao dia da semana, de acordo com a tabela a seguir:
Dia
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sáb
Dom
Necessidade
25
20
30
24
44
12
22
Sabe-se ainda que a semana de trabalho é de cinco dias (ex: se o vigilante inicia seu trabalho na segunda feira, então ele o encerra na sexta-feira). O salário semanal do vigilante é de . Pede-se um esquema de alocação de pessoal que cubra as necessidades diárias de vigilância durante uma semana com o menor custo possivel.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que precisa contratar vigilantes para atender diferentes demandas durante a semana. A demanda varia de dia para dia, conforme a tabela fornecida. Cada vigilante trabalha cinco dias consecutivos e recebe R$ 600,00 por semana. Nosso objetivo é encontrar a melhor maneira de alocar esses vigilantes de forma a cobrir todas as necessidades diárias gastando o mínimo possível.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Programação Linear Inteira, que nos ajuda a otimizar recursos limitados atendendo a certas restrições.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar todas as possíveis maneiras de iniciar a jornada de trabalho dos vigilantes. Como cada vigilante trabalha cinco dias consecutivos, as possíveis sequências de trabalho na semana de sete dias (Seg a Dom) são:
Seg a Sex
Ter a Sáb
Qua a Dom
Vamos representar cada uma dessas opções como variáveis:
: Número de vigilantes que começam na segunda-feira e trabalham de segunda a sexta.
: Número de vigilantes que começam na terça-feira e trabalham de terça a sábado.
: Número de vigilantes que começam na quarta-feira e trabalham de quarta a domingo.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a quantidade de vigilantes alocados cubra a demanda de cada dia. Vamos analisar cada dia da semana e ver quantos vigilantes estão trabalhando em cada um, dependendo de onde começaram:
Segunda (Seg): Somente os que começam na segunda ().
Terça (Ter): Os que começam na segunda () e os que começam na terça ().
Quarta (Qua): Os que começam na segunda (), na terça () e na quarta ().
Quinta (Qui): Os que começam na segunda (), na terça () e na quarta ().
Sexta (Sex): Os que começam na segunda (), na terça () e na quarta ().
Sábado (Sáb): Os que começam na terça () e na quarta ().
Domingo (Dom): Somente os que começam na quarta ().
Passo 4
Com base nisso, podemos escrever as restrições para cada dia, garantindo que a soma dos vigilantes alocados nos dias correspondentes cubra a demanda:
Além disso, queremos minimizar o custo total, que é dado por:
Passo 5
Agora, nosso objetivo é minimizar enquanto respeitamos todas as restrições acima. Vamos resolver isso passo a passo.
Primeiro, observamos a restrição de domingo:
Então, deve ser pelo menos 22.
Em seguida, consideramos a restrição de sexta-feira, que exige:
Já sabemos que , então:
Também temos a restrição de segunda-feira:
Com e , fica claro que já cobre mais da necessidade combinada de segunda e terça.
Passo 6
Vamos agora verificar a quarta e quinta-feira:
Como já temos , essas restrições já estão satisfeitas.
Para a terça-feira:
Como , isso também está satisfeito.
Por fim, para o sábado:
Com , isso é atendido independentemente de .
Passo 7
Agora, para minimizar o número de vigilantes, mantemos (já que ) e . Precisamos determinar .
Sabemos que :
Como não podemos ter um número negativo de vigilantes, pode ser 0.
Passo 8
Vamos verificar se todas as demandas são atendidas com , e :
Segunda: 25 vigilantes (necessidade: 25) ✔️
Terça: 25 + 0 = 25 (necessidade: 20) ✔️
Quarta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 30) ✔️
Quinta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 24) ✔️
Sexta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 44) ✔️
Sábado: 0 + 22 = 22 (necessidade: 12) ✔️
Domingo: 22 (necessidade: 22) ✔️
Tudo está atendido com essas alocações.
Resposta
Para atender todas as demandas diárias com o menor custo possível, a empresa deve contratar 25 vigilantes que trabalham de segunda a sexta e 22 vigilantes que trabalham de quarta a domingo. O custo total será de: