Uma empresa de prestação de serviços necessita alocar vigilantes em diversos clientes. No entanto, durante o levantamento de necessidade constatou-se que a demanda de vigilantes variava em relação ao dia da semana, de acordo com a tabela a seguir:
Dia Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Necessidade 25 20 30 24 44 12 22
Sabe-se ainda que a semana de trabalho é de cinco dias (ex: se o vigilante inicia seu trabalho na segunda feira, então ele o encerra na sexta-feira). O salário semanal do vigilante é de . Pede-se um esquema de alocação de pessoal que cubra as necessidades diárias de vigilância durante uma semana com o menor custo possivel.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que precisa contratar vigilantes para atender diferentes demandas durante a semana. A demanda varia de dia para dia, conforme a tabela fornecida. Cada vigilante trabalha cinco dias consecutivos e recebe R$ 600,00 por semana. Nosso objetivo é encontrar a melhor maneira de alocar esses vigilantes de forma a cobrir todas as necessidades diárias gastando o mínimo possível.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Programação Linear Inteira, que nos ajuda a otimizar recursos limitados atendendo a certas restrições.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todas as possíveis maneiras de iniciar a jornada de trabalho dos vigilantes. Como cada vigilante trabalha cinco dias consecutivos, as possíveis sequências de trabalho na semana de sete dias (Seg a Dom) são:
  1. Seg a Sex
  2. Ter a Sáb
  3. Qua a Dom
Vamos representar cada uma dessas opções como variáveis:
  • : Número de vigilantes que começam na segunda-feira e trabalham de segunda a sexta.
  • : Número de vigilantes que começam na terça-feira e trabalham de terça a sábado.
  • : Número de vigilantes que começam na quarta-feira e trabalham de quarta a domingo.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a quantidade de vigilantes alocados cubra a demanda de cada dia. Vamos analisar cada dia da semana e ver quantos vigilantes estão trabalhando em cada um, dependendo de onde começaram:
  • Segunda (Seg): Somente os que começam na segunda ( ).
  • Terça (Ter): Os que começam na segunda ( ) e os que começam na terça ( ).
  • Quarta (Qua): Os que começam na segunda ( ), na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Quinta (Qui): Os que começam na segunda ( ), na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Sexta (Sex): Os que começam na segunda ( ), na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Sábado (Sáb): Os que começam na terça ( ) e na quarta ( ).
  • Domingo (Dom): Somente os que começam na quarta ( ).

Passo 4

Com base nisso, podemos escrever as restrições para cada dia, garantindo que a soma dos vigilantes alocados nos dias correspondentes cubra a demanda:
çá
Além disso, queremos minimizar o custo total, que é dado por:

Passo 5

Agora, nosso objetivo é minimizar enquanto respeitamos todas as restrições acima. Vamos resolver isso passo a passo.
Primeiro, observamos a restrição de domingo:
Então, deve ser pelo menos 22.
Em seguida, consideramos a restrição de sexta-feira, que exige:
Já sabemos que , então:
Também temos a restrição de segunda-feira:
Com e , fica claro que já cobre mais da necessidade combinada de segunda e terça.

Passo 6

Vamos agora verificar a quarta e quinta-feira:
Como já temos , essas restrições já estão satisfeitas.
Para a terça-feira:
Como , isso também está satisfeito.
Por fim, para o sábado:
Com , isso é atendido independentemente de .

Passo 7

Agora, para minimizar o número de vigilantes, mantemos (já que ) e . Precisamos determinar .
Sabemos que :
Como não podemos ter um número negativo de vigilantes, pode ser 0.

Passo 8

Vamos verificar se todas as demandas são atendidas com , e :
  • Segunda: 25 vigilantes (necessidade: 25) ✔️
  • Terça: 25 + 0 = 25 (necessidade: 20) ✔️
  • Quarta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 30) ✔️
  • Quinta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 24) ✔️
  • Sexta: 25 + 0 + 22 = 47 (necessidade: 44) ✔️
  • Sábado: 0 + 22 = 22 (necessidade: 12) ✔️
  • Domingo: 22 (necessidade: 22) ✔️
Tudo está atendido com essas alocações.

Resposta

Para atender todas as demandas diárias com o menor custo possível, a empresa deve contratar 25 vigilantes que trabalham de segunda a sexta e 22 vigilantes que trabalham de quarta a domingo. O custo total será de:

Exercícios relacionados

Resolva manualmente os modelos de programação linear abaixo utilizando o método gráfico. Indique os cálculos. Confira o resultado com um solver PL (sugestão: utilizar modelo escrito em
(a)

©
A Confederação Meridional de Kibutzim é um grupo de três
Kibutz Área Irrigável (em acres) Alocação de Água (em acres pés)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
Entre as plantações adequadas para essa região encontram-se a beterraba, algodão e sorgo, e elas estão sendo consideradas para o próximo período. Essas plantações diferem basicamente nos respectivos retornos líquidos esperados, e no consumo de água. Além disso, o Ministério de Agricultura de Israel tem uma cota máxima para a área total que pode ser dedicada à cada uma dessas plantações pela Confederação Meridional de Kibutzim, cujos limites são dados na tabela a seguir:
Plantação Cota Máx. (acres) Consumo Água (acres pés/acre) Retorno Líquido (US$/acre)
Beterraba 600 3 1.000
Algodão 500 2 750
Sorgo 325 1 250
Em razão da limitada quantidade de água disponivel para irrigação, a Confederação Meridional de Kibutzim não será capaz de usar toda a sua área irrigável para plantação de culturas no próximo ano, de forma que para garantir o equilibrio entre os três kibutzim, acordou-se que cada um deles plantará a mesma proporção de sua área irrigável. Para exemplificar, se o kibutzim 1 plantar 200 de seus 400 acres disponiveis, então o kibutzim 2 terá que plantar 300 de seus 600 acres, ao passo que o kibutzim 3 plantaria 150 de seus 300 acres. Qualquer combinação de plantas pode ser cultivada no kibutzim.
A tarefa que o Centro Técnico de Coordenação deve enfrentar é planejar quantos acres devem ser dedicados a cada plantação nos respectivos kibutzim, satisfazendo as dadas restrições, de forma a maximizar o retorno líquido total para a Confederação Meridional dos Kibutzim como um todo. Isto posto, formule e resolva um problema de programação linear capaz de determinar quanto de cada cultura deve ser plantada em cada kibutzim da Confederação.
Uma empresa da área agrícola dispõe de 2.000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. A diretoria da empresa resolveu na repartição da área que as plantações de cana e laranja devem, juntas, ocupar uma área de no mínimo 800 hectares; e que a de milho não deve ser menor do que da área total; e que milho e soja juntas não devem ultrapassar da área. Sabe-se que um hectare de cana dá uma contribuição de lucro de 140,00 unidades monetárias; de laranja dá 80,00 unidades monetárias; de milho dá 75,00 unidades monetárias e de soja dá 160,00 unidades monetárias. Como deve ser dividida a área para que seja cumprida a determinação da diretoria da empresa de forma a ser obtido o lucro máximo?
Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 m de tábuas, 600 m de pranchas, e 500 m de painéis de conglomerado. A fábrica oferece uma linha de móveis composto pelos produtos escrivaninha, mesa de reunião, armário e prateleira. A tabela a seguir apresenta que tipo de material é consumido na construção de cada móvel:
Insumo Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibilidade
Tábua 1 1 1 4 250
Prancha 0 1 1 2 600
Painéis 3 2 4 0 500
Revenda 100 80 120 20
O valor de revenda de cada produto é dado na tabela acima. Isto posto, construa um programa linear que seja capaz de definir a maior receita possível com a venda dos móveis produzidos.