Resolva manualmente os modelos de programação linear abaixo utilizando o método gráfico. Indique os cálculos. Confira o resultado com um solver PL (sugestão: utilizar modelo escrito em A M P L+g l p s o l, d a G L P K)
max x1+4 x2 & st 2 x1+3 x2 & <= 18 & x1 x2 & <= 4 & x1, x2 & >= 0
(a)
min 1.5 x1+4.5 x2
© 4 x1+x2 >= 8
1.5 x1+8 x2 >= 12
x1, x2 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver manualmente dois modelos de Programação Linear (PL) usando o método gráfico. A Matéria envolvida aqui é a Programação Linear, que ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) uma função objetivo sujeita a algumas restrições. Para isso, vamos precisar desenhar as restrições no plano cartesiano, encontrar a região viável e identificar os pontos extremos para descobrir a melhor solução.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no modelo (a). A função objetivo é:
max x1 + 4x2
As restrições são:
2x1 + 3x2 <= 18 x2 <= 4 x1, x2 >= 0

Passo 3

Vamos desenhar cada restrição no plano cartesiano. Começamos pela primeira restrição:
2x1 + 3x2 <= 18
Para facilitar, vamos encontrar os interceptos:
  • Quando 3x2 = 18 Rightarrow x2 = 6 :
    2x1 = 18 Rightarrow x1 = 9
  • Quando :
Então, a linha dessa restrição passa pelos pontos (0,6) e (9,0). Como é , sombreamos abaixo dessa linha.

Passo 4

Agora, a segunda restrição:
x2 <= 4
Isso significa que pode no máximo ser 4. No gráfico, desenhamos uma linha horizontal em e sombreamos abaixo dela.

Passo 5

Como temos também , estamos trabalhando no primeiro quadrante. A região viável é onde todas as sombreamentos se sobrepõem. Vamos identificar os pontos de interseção das restrições para encontrar os vértices da região viável.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos extremos:
  1. Interseção entre 2x1 + 3(4) = 18 Rightarrow 2x1 + 12 = 18 Rightarrow 2x1 = 6 Rightarrow x1 = 3 e :
    Substituindo na primeira equação:
    Ponto: (3,4)
  2. Interseção com os eixos:
    • (0,6) e (9,0) já identificados.
  3. Interseção com e :
    Ponto: (0,4)

Passo 7

Agora temos os vértices da região viável:
  • (0,4)
  • (3,4)
  • (9,0)

Passo 8

Vamos calcular a função objetivo em cada um desses pontos para encontrar qual dá o maior valor.
  1. Ponto (0,4):
    x1 + 4x2 = 0 + 4(4) = 16
  2. Ponto (3,4):
    x1 + 4x2 = 3 + 4(4) = 19
  3. Ponto (9,0):
    x1 + 4x2 = 9 + 4(0) = 9

Passo 9

O maior valor da função objetivo é 19, que ocorre no ponto (3,4). Então, a solução ótima para o modelo (a) é e , com um valor máximo de 19.

Resposta

A solução ótima para o modelo (a) é e , atingindo um valor máximo de 19.

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