Resolva manualmente os modelos de programação linear abaixo utilizando o método gráfico. Indique os cálculos. Confira o resultado com um solver PL (sugestão: utilizar modelo escrito em
(a)

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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver manualmente dois modelos de Programação Linear (PL) usando o método gráfico. A Matéria envolvida aqui é a Programação Linear, que ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) uma função objetivo sujeita a algumas restrições. Para isso, vamos precisar desenhar as restrições no plano cartesiano, encontrar a região viável e identificar os pontos extremos para descobrir a melhor solução.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no modelo (a). A função objetivo é:
As restrições são:

Passo 3

Vamos desenhar cada restrição no plano cartesiano. Começamos pela primeira restrição:
Para facilitar, vamos encontrar os interceptos:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a linha dessa restrição passa pelos pontos (0,6) e (9,0). Como é , sombreamos abaixo dessa linha.

Passo 4

Agora, a segunda restrição:
Isso significa que pode no máximo ser 4. No gráfico, desenhamos uma linha horizontal em e sombreamos abaixo dela.

Passo 5

Como temos também , estamos trabalhando no primeiro quadrante. A região viável é onde todas as sombreamentos se sobrepõem. Vamos identificar os pontos de interseção das restrições para encontrar os vértices da região viável.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos extremos:
  1. Interseção entre e :
    Substituindo na primeira equação:
    Ponto: (3,4)
  2. Interseção com os eixos:
    • (0,6) e (9,0) já identificados.
  3. Interseção com e :
    Ponto: (0,4)

Passo 7

Agora temos os vértices da região viável:
  • (0,4)
  • (3,4)
  • (9,0)

Passo 8

Vamos calcular a função objetivo em cada um desses pontos para encontrar qual dá o maior valor.
  1. Ponto (0,4):
  2. Ponto (3,4):
  3. Ponto (9,0):

Passo 9

O maior valor da função objetivo é 19, que ocorre no ponto (3,4). Então, a solução ótima para o modelo (a) é e , com um valor máximo de 19.

Resposta

A solução ótima para o modelo (a) é e , atingindo um valor máximo de 19.

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A Confederação Meridional de Kibutzim é um grupo de três
Kibutz Área Irrigável (em acres) Alocação de Água (em acres pés)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
Entre as plantações adequadas para essa região encontram-se a beterraba, algodão e sorgo, e elas estão sendo consideradas para o próximo período. Essas plantações diferem basicamente nos respectivos retornos líquidos esperados, e no consumo de água. Além disso, o Ministério de Agricultura de Israel tem uma cota máxima para a área total que pode ser dedicada à cada uma dessas plantações pela Confederação Meridional de Kibutzim, cujos limites são dados na tabela a seguir:
Plantação Cota Máx. (acres) Consumo Água (acres pés/acre) Retorno Líquido (US$/acre)
Beterraba 600 3 1.000
Algodão 500 2 750
Sorgo 325 1 250
Em razão da limitada quantidade de água disponivel para irrigação, a Confederação Meridional de Kibutzim não será capaz de usar toda a sua área irrigável para plantação de culturas no próximo ano, de forma que para garantir o equilibrio entre os três kibutzim, acordou-se que cada um deles plantará a mesma proporção de sua área irrigável. Para exemplificar, se o kibutzim 1 plantar 200 de seus 400 acres disponiveis, então o kibutzim 2 terá que plantar 300 de seus 600 acres, ao passo que o kibutzim 3 plantaria 150 de seus 300 acres. Qualquer combinação de plantas pode ser cultivada no kibutzim.
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Dia Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
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