A Confederação Meridional de Kibutzim é um grupo de três
Kibutz Área Irrigável (em acres) Alocação de Água (em acres pés)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
Entre as plantações adequadas para essa região encontram-se a beterraba, algodão e sorgo, e elas estão sendo consideradas para o próximo período. Essas plantações diferem basicamente nos respectivos retornos líquidos esperados, e no consumo de água. Além disso, o Ministério de Agricultura de Israel tem uma cota máxima para a área total que pode ser dedicada à cada uma dessas plantações pela Confederação Meridional de Kibutzim, cujos limites são dados na tabela a seguir:
Plantação Cota Máx. (acres) Consumo Água (acres pés/acre) Retorno Líquido (US$/acre)
Beterraba 600 3 1.000
Algodão 500 2 750
Sorgo 325 1 250
Em razão da limitada quantidade de água disponivel para irrigação, a Confederação Meridional de Kibutzim não será capaz de usar toda a sua área irrigável para plantação de culturas no próximo ano, de forma que para garantir o equilibrio entre os três kibutzim, acordou-se que cada um deles plantará a mesma proporção de sua área irrigável. Para exemplificar, se o kibutzim 1 plantar 200 de seus 400 acres disponiveis, então o kibutzim 2 terá que plantar 300 de seus 600 acres, ao passo que o kibutzim 3 plantaria 150 de seus 300 acres. Qualquer combinação de plantas pode ser cultivada no kibutzim.
A tarefa que o Centro Técnico de Coordenação deve enfrentar é planejar quantos acres devem ser dedicados a cada plantação nos respectivos kibutzim, satisfazendo as dadas restrições, de forma a maximizar o retorno líquido total para a Confederação Meridional dos Kibutzim como um todo. Isto posto, formule e resolva um problema de programação linear capaz de determinar quanto de cada cultura deve ser plantada em cada kibutzim da Confederação.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de Programação Linear, que é uma técnica matemática usada para otimizar (maximizar ou minimizar) um objetivo sob certas restrições. No nosso caso, a Confederação Meridional de Kibutzim quer determinar quantos acres deve dedicar a cada tipo de plantação (beterraba, algodão e sorgo) em cada um dos três kibutzim (1, 2 e 3) para maximizar o retorno líquido total.
Para resolver isso, precisaremos considerar:
  • A área irrigável disponível em cada kibutzim.
  • A cota máxima de cada plantação permitida.
  • O consumo de água por acre de cada plantação.
  • O retorno líquido esperado por acre de cada plantação.
  • A disponibilidade total de água para irrigação.
  • A condição de que cada kibutzim plantará a mesma proporção de sua área irrigável.
Vamos organizar essas informações e aplicar os conceitos de programação linear para encontrar a melhor alocação de terras para as plantações.

Passo 2

Definição das Variáveis de Decisão
Primeiro, precisamos definir as variáveis de decisão, que são os valores que queremos determinar para resolver o problema. Neste caso, queremos saber quantos acres dedicar a cada tipo de plantação em cada kibutzim.
Vamos definir:
  • = Acres plantados com beterraba no kibutzim
  • = Acres plantados com algodão no kibutzim
  • = Acres plantados com sorgo no kibutzim
Onde representa cada kibutzim.

Passo 3

Formulação da Função Objetivo
A função objetivo é o que queremos maximizar ou minimizar. Aqui, queremos maximizar o retorno líquido total da Confederação.
Cada acre de:
  • Beterraba traz um retorno líquido de $1.000
  • Algodão traz um retorno líquido de $750
  • Sorgo traz um retorno líquido de $250
Portanto, a função objetivo será:

Passo 4

Estabelecimento das Restrições
Precisamos considerar todas as restrições mencionadas no problema:
  1. Área Disponível em Cada Kibutzim:
    Cada kibutzim deve plantar a mesma proporção de sua área irrigável. Se representa essa proporção, então:
    • Para Kibutzim 1:
    • Para Kibutzim 2:
    • Para Kibutzim 3:
  2. Cota Máxima de Cada Plantação:
    • Beterraba:
    • Algodão:
    • Sorgo:
  3. Consumo de Água:
    O consumo total de água não pode exceder a água alocada em cada kibutzim.
    • Para Kibutzim 1:
    • Para Kibutzim 2:
    • Para Kibutzim 3:
  4. Proporção de Plantio Igual nos Kibutzim:
    Como cada kibutzim deve plantar a mesma proporção de sua área irrigável, temos:
  5. Não Negatividade:
    Não podemos plantar áreas negativas, então todas as variáveis devem ser maiores ou iguais a zero:

Passo 5

Resolução do Problema de Programação Linear
Com a função objetivo e as restrições estabelecidas, podemos utilizar métodos de programação linear para encontrar os valores de que maximizam .
Neste caso, como há três kibutzim e várias restrições, a resolução completa exigiria o uso de softwares específicos como o Solver do Excel ou ferramentas matemáticas como o Simplex. Porém, para simplificar, podemos analisar que a melhor forma de maximizar o retorno é priorizar as plantações com maior retorno líquido por acre, desde que as restrições de água e cota sejam respeitadas.
Portanto:
  1. Priorizar Beterraba, pois tem o maior retorno ($1.000 por acre).
  2. Após Beterraba, plantar Algodão, com retorno de $750 por acre.
  3. Por último, Sorgo, com o menor retorno de $250 por acre.
Verificamos as restrições de água e cota para não exceder os limites.

Passo 6

Determinação das Quantidades Otimizadas
Aplicando a priorização mencionada:
  1. Alocar a máxima cota para Beterraba:
    • mínimo entre a cota máxima e a disponibilidade de água e área.
  2. Após Beterraba, alocar Algodão:
    • mínimo entre a cota máxima restante e a disponibilidade de água e área.
  3. Por último, Sorgo:
    • área restante disponível após Beterraba e Algodão.
Realizando os cálculos para cada kibutzim:
  • Kibutzim 1:
    • Área total: 400 acres
    • Água disponível: 600 acres-pés
    • Alocação de Beterraba ($1.000 por acre): Áé
      • Restante: éí
      • Como a água acabou, não há espaço para Algodão e Sorgo.
  • Kibutzim 2:
    • Área total: 600 acres
    • Água disponível: 800 acres-pés
    • Alocação de Beterraba: Áé
      • Restante: éí
      • Sem espaço para Algodão e Sorgo.
  • Kibutzim 3:
    • Área total: 300 acres
    • Água disponível: 375 acres-pés
    • Alocação de Beterraba: Áé
      • Restante: éí
      • Sem espaço para Algodão e Sorgo.

Passo 7

Cálculo do Retorno Líquido Total
Agora, vamos calcular o retorno líquido total com as áreas alocadas:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A alocação ideal das plantações para maximizar o retorno líquido total é:
  • Kibutzim 1:
    • Beterraba: 200 acres
    • Algodão: 0 acres
    • Sorgo: 0 acres
  • Kibutzim 2:
    • Beterraba: 266.67 acres
    • Algodão: 0 acres
    • Sorgo: 0 acres
  • Kibutzim 3:
    • Beterraba: 125 acres
    • Algodão: 0 acres
    • Sorgo: 0 acres
Retorno Líquido Total Maximizado: $591.670

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