A Confederação Meridional de Kibutzim é um grupo de três
Kibutz | Área Irrigável (em acres) | Alocação de Água (em acres pés) |
---|---|---|
1 | 400 | 600 |
2 | 600 | 800 |
3 | 300 | 375 |
Entre as plantações adequadas para essa região encontram-se a beterraba, algodão e sorgo, e elas estão sendo consideradas para o próximo período. Essas plantações diferem basicamente nos respectivos retornos líquidos esperados, e no consumo de água. Além disso, o Ministério de Agricultura de Israel tem uma cota máxima para a área total que pode ser dedicada à cada uma dessas plantações pela Confederação Meridional de Kibutzim, cujos limites são dados na tabela a seguir:
Plantação | Cota Máx. (acres) | Consumo Água (acres pés/acre) | Retorno Líquido (US$/acre) |
---|---|---|---|
Beterraba | 600 | 3 | 1.000 |
Algodão | 500 | 2 | 750 |
Sorgo | 325 | 1 | 250 |
Em razão da limitada quantidade de água disponivel para irrigação, a Confederação Meridional de Kibutzim não será capaz de usar toda a sua área irrigável para plantação de culturas no próximo ano, de forma que para garantir o equilibrio entre os três kibutzim, acordou-se que cada um deles plantará a mesma proporção de sua área irrigável. Para exemplificar, se o kibutzim 1 plantar 200 de seus 400 acres disponiveis, então o kibutzim 2 terá que plantar 300 de seus 600 acres, ao passo que o kibutzim 3 plantaria 150 de seus 300 acres. Qualquer combinação de plantas pode ser cultivada no kibutzim.
A tarefa que o Centro Técnico de Coordenação deve enfrentar é planejar quantos acres devem ser dedicados a cada plantação nos respectivos kibutzim, satisfazendo as dadas restrições, de forma a maximizar o retorno líquido total para a Confederação Meridional dos Kibutzim como um todo. Isto posto, formule e resolva um problema de programação linear capaz de determinar quanto de cada cultura deve ser plantada em cada kibutzim da Confederação.
A tarefa que o Centro Técnico de Coordenação deve enfrentar é planejar quantos acres devem ser dedicados a cada plantação nos respectivos kibutzim, satisfazendo as dadas restrições, de forma a maximizar o retorno líquido total para a Confederação Meridional dos Kibutzim como um todo. Isto posto, formule e resolva um problema de programação linear capaz de determinar quanto de cada cultura deve ser plantada em cada kibutzim da Confederação.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de Programação Linear, que é uma técnica matemática usada para otimizar (maximizar ou minimizar) um objetivo sob certas restrições. No nosso caso, a Confederação Meridional de Kibutzim quer determinar quantos acres deve dedicar a cada tipo de plantação (beterraba, algodão e sorgo) em cada um dos três kibutzim (1, 2 e 3) para maximizar o retorno líquido total.
Para resolver isso, precisaremos considerar:
- A área irrigável disponível em cada kibutzim.
- A cota máxima de cada plantação permitida.
- O consumo de água por acre de cada plantação.
- O retorno líquido esperado por acre de cada plantação.
- A disponibilidade total de água para irrigação.
- A condição de que cada kibutzim plantará a mesma proporção de sua área irrigável.
Vamos organizar essas informações e aplicar os conceitos de programação linear para encontrar a melhor alocação de terras para as plantações.
Passo 2
Definição das Variáveis de Decisão
Primeiro, precisamos definir as variáveis de decisão, que são os valores que queremos determinar para resolver o problema. Neste caso, queremos saber quantos acres dedicar a cada tipo de plantação em cada kibutzim.
Vamos definir:
-
= Acres plantados com beterraba no kibutzim -
= Acres plantados com algodão no kibutzim -
= Acres plantados com sorgo no kibutzim
Onde
representa cada kibutzim.
Passo 3
Formulação da Função Objetivo
A função objetivo é o que queremos maximizar ou minimizar. Aqui, queremos maximizar o retorno líquido total da Confederação.
Cada acre de:
- Beterraba traz um retorno líquido de $1.000
- Algodão traz um retorno líquido de $750
- Sorgo traz um retorno líquido de $250
Portanto, a função objetivo será:
Passo 4
Estabelecimento das Restrições
Precisamos considerar todas as restrições mencionadas no problema:
-
Área Disponível em Cada Kibutzim:Cada kibutzim deve plantar a mesma proporção de sua área irrigável. Se
representa essa proporção, então: - Para Kibutzim 1:
- Para Kibutzim 2:
- Para Kibutzim 3:
- Para Kibutzim 1:
-
Cota Máxima de Cada Plantação:
- Beterraba:
- Algodão:
- Sorgo:
- Beterraba:
-
Consumo de Água:O consumo total de água não pode exceder a água alocada em cada kibutzim.
- Para Kibutzim 1:
- Para Kibutzim 2:
- Para Kibutzim 3:
- Para Kibutzim 1:
-
Proporção de Plantio Igual nos Kibutzim:Como cada kibutzim deve plantar a mesma proporção de sua área irrigável, temos:
-
Não Negatividade:Não podemos plantar áreas negativas, então todas as variáveis devem ser maiores ou iguais a zero:
Passo 5
Resolução do Problema de Programação Linear
Com a função objetivo e as restrições estabelecidas, podemos utilizar métodos de programação linear para encontrar os valores de
que maximizam
.
Neste caso, como há três kibutzim e várias restrições, a resolução completa exigiria o uso de softwares específicos como o Solver do Excel ou ferramentas matemáticas como o Simplex. Porém, para simplificar, podemos analisar que a melhor forma de maximizar o retorno é priorizar as plantações com maior retorno líquido por acre, desde que as restrições de água e cota sejam respeitadas.
Portanto:
- Priorizar Beterraba, pois tem o maior retorno ($1.000 por acre).
- Após Beterraba, plantar Algodão, com retorno de $750 por acre.
- Por último, Sorgo, com o menor retorno de $250 por acre.
Verificamos as restrições de água e cota para não exceder os limites.
Passo 6
Determinação das Quantidades Otimizadas
Aplicando a priorização mencionada:
-
Alocar a máxima cota para Beterraba:
-
mínimo entre a cota máxima e a disponibilidade de água e área.
-
-
Após Beterraba, alocar Algodão:
-
mínimo entre a cota máxima restante e a disponibilidade de água e área.
-
-
Por último, Sorgo:
-
área restante disponível após Beterraba e Algodão.
-
Realizando os cálculos para cada kibutzim:
-
Kibutzim 1:
- Área total: 400 acres
- Água disponível: 600 acres-pés
- Alocação de Beterraba ($1.000 por acre):
- Restante:
- Como a água acabou, não há espaço para Algodão e Sorgo.
- Restante:
-
Kibutzim 2:
- Área total: 600 acres
- Água disponível: 800 acres-pés
- Alocação de Beterraba:
- Restante:
- Sem espaço para Algodão e Sorgo.
- Restante:
-
Kibutzim 3:
- Área total: 300 acres
- Água disponível: 375 acres-pés
- Alocação de Beterraba:
- Restante:
- Sem espaço para Algodão e Sorgo.
- Restante:
Passo 7
Cálculo do Retorno Líquido Total
Agora, vamos calcular o retorno líquido total com as áreas alocadas:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A alocação ideal das plantações para maximizar o retorno líquido total é:
-
Kibutzim 1:
- Beterraba: 200 acres
- Algodão: 0 acres
- Sorgo: 0 acres
-
Kibutzim 2:
- Beterraba: 266.67 acres
- Algodão: 0 acres
- Sorgo: 0 acres
-
Kibutzim 3:
- Beterraba: 125 acres
- Algodão: 0 acres
- Sorgo: 0 acres
Retorno Líquido Total Maximizado: $591.670