Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, o valor do custo mínimo de produção é:
  • 4040 0
    1 400
    2 400 3 400

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função de custo $ C(x) = x^2 - 80x + 3000 $, onde $ C $ é o custo em reais e $ x $ é a quantidade de unidades produzidas. A missão aqui é encontrar o custo mínimo de produção desse produto. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar seus valores mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função que temos é do tipo quadrática, que tem a forma geral $ C(x) = ax^2 + bx + c $. Nesse caso, $ a = 1 $, $ b = -80 $ e $ c = 3000 $. Como o coeficiente de $ x^2 $ (que é o “a”) é positivo, sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, ou seja, tem um ponto mínimo.

Passo 3

Para encontrar onde esse mínimo acontece, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
x
Substituindo os valores que temos:
x = -b2a
Então, o mínimo acontece quando produzimos 40 unidades.

Passo 4

Agora que sabemos que o mínimo ocorre quando $ x = 40 $, vamos substituir esse valor na função de custo para encontrar o custo mínimo:
x = 40
Calculando cada parte:
C(40) = (40)^2 - 80 times 40 + 3000
40^2 = 1600
Então:
80 times 40 = 3200
O custo mínimo é de R$1.400,00.

Resposta

O custo mínimo de produção é de R$1.400,00.

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