Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, o valor do custo mínimo de produção é:
- 4040 0
1 400
2 400 3 400
1 400
2 400 3 400
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função de custo $ C(x) = x^2 - 80x + 3000 $, onde $ C $ é o custo em reais e $ x $ é a quantidade de unidades produzidas. A missão aqui é encontrar o custo mínimo de produção desse produto. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar seus valores mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função que temos é do tipo quadrática, que tem a forma geral $ C(x) = ax^2 + bx + c $. Nesse caso, $ a = 1 $, $ b = -80 $ e $ c = 3000 $. Como o coeficiente de $ x^2 $ (que é o “a”) é positivo, sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, ou seja, tem um ponto mínimo.
Passo 3
Para encontrar onde esse mínimo acontece, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Então, o mínimo acontece quando produzimos 40 unidades.
Passo 4
Agora que sabemos que o mínimo ocorre quando $ x = 40 $, vamos substituir esse valor na função de custo para encontrar o custo mínimo:
Calculando cada parte:
Então:
O custo mínimo é de R$1.400,00.
Resposta
O custo mínimo de produção é de R$1.400,00.