Uma empresa produz trufas de chocolate, cujo custo de fabricação é dado por C(x)=10+2x+0,1x², sendo que x é a quantidade diária produzida. Sabendo que cada trufa é vendida por R$ 4,50, entre que valores deve variar x para não haver prejuízo? Não haverá prejuízo quando
10 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando
5 ≤ x ≤ 20 Não haverá prejuízo quando 4,
5 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando
5 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando 2,2
5 ≤ x ≤ 4,5
10 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando
5 ≤ x ≤ 20 Não haverá prejuízo quando 4,
5 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando
5 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando 2,2
5 ≤ x ≤ 4,5
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma empresa que fabrica trufas de chocolate. O custo para produzir essas trufas é dado pela função $ C(x) = 10 + 2x + 0,1x² $, onde $ x $ é a quantidade de trufas produzidas por dia. Cada trufa é vendida por R$ 4,50. A pergunta é: entre quais valores de $ x $ a empresa não terá prejuízo?
Vamos precisar entender de funções de custo e receita, e como elas se relacionam para determinar o ponto de equilíbrio, onde a empresa não tem lucro nem prejuízo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a receita da empresa. A receita ($ R(x)
4,50, a receita é:
Passo 3
Para que a empresa não tenha prejuízo, a receita precisa ser igual ou maior que o custo. Ou seja:
Substituindo as funções que temos:
Passo 4
Vamos reorganizar essa inequação para facilitar a resolução. Primeiro, movemos todos os termos para um lado:
Simplificando os termos:
Passo 5
Para resolver essa inequação quadrática, vamos colocá-la na forma padrão:
Multiplicando todos os termos por -1 (lembre que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte):
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem essa inequação. Vamos resolver a equação quadrática correspondente para encontrar os pontos onde a função se iguala a zero:
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 0,1 $
- $ b = -2,5 $
- $ c = 10 $
Passo 7
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, a equação tem duas raízes reais.
Passo 8
Calculando as raízes:
Então temos:
Passo 9
Agora, sabemos que a função quadrática $ 0,1x² - 2,5x + 10 $ é uma parábola que abre para cima (já que o coeficiente de $ x² $ é positivo). A inequação $ 0,1x² - 2,5x + 10 \leq 0 $ será satisfeita entre as raízes.
Isso significa que:
Resposta
Não haverá prejuízo quando $ 5 \leq x \leq 20 $.