Uma empresa produz trufas de chocolate, cujo custo de fabricação é dado por C(x)=10+2x+0,1x², sendo que x é a quantidade diária produzida. Sabendo que cada trufa é vendida por R$ 4,50, entre que valores deve variar x para não haver prejuízo? Não haverá prejuízo quando
10 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando
5 ≤ x ≤ 20 Não haverá prejuízo quando 4,
5 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando
5 ≤ x ≤ 10 Não haverá prejuízo quando 2,2
5 ≤ x ≤ 4,5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma empresa que fabrica trufas de chocolate. O custo para produzir essas trufas é dado pela função $ C(x) = 10 + 2x + 0,1x² $, onde $ x $ é a quantidade de trufas produzidas por dia. Cada trufa é vendida por R$ 4,50. A pergunta é: entre quais valores de $ x $ a empresa não terá prejuízo?
Vamos precisar entender de funções de custo e receita, e como elas se relacionam para determinar o ponto de equilíbrio, onde a empresa não tem lucro nem prejuízo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a receita da empresa. A receita ($ R(x) R(x) éé 4,50, a receita é:
4,50, a receita é:

Passo 3

Para que a empresa não tenha prejuízo, a receita precisa ser igual ou maior que o custo. Ou seja:
R(x) >= C(x)
Substituindo as funções que temos:
4,5x >= 10 + 2x + 0,1x² ²

Passo 4

Vamos reorganizar essa inequação para facilitar a resolução. Primeiro, movemos todos os termos para um lado:
4,5x - 2x - 0,1x² >= 10 ²
Simplificando os termos:
2,5x - 0,1x² >= 10 ²

Passo 5

Para resolver essa inequação quadrática, vamos colocá-la na forma padrão:
-0,1x² + 2,5x - 10 >= 0 ²
Multiplicando todos os termos por -1 (lembre que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte):
0,1x² - 2,5x + 10 <= 0 ²

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem essa inequação. Vamos resolver a equação quadrática correspondente para encontrar os pontos onde a função se iguala a zero:
x ²
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
0,1x² - 2,5x + 10 = 0 ²
Onde:
  • $ a = 0,1 $
  • $ b = -2,5 $
  • $ c = 10 $

Passo 7

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De²
Como $ \Delta > 0 $, a equação tem duas raízes reais.

Passo 8

Calculando as raízes:
x = 2,5 pm raiz2,252 times 0,1
x = 2,5 pm 1,50,2
Então temos:
x1 = 2,5 + 1,50,2 = 40,2 = 20
x2 = 2,5 - 1,50,2 = 10,2 = 5

Passo 9

Agora, sabemos que a função quadrática $ 0,1x² - 2,5x + 10 $ é uma parábola que abre para cima (já que o coeficiente de $ x² $ é positivo). A inequação $ 0,1x² - 2,5x + 10 \leq 0 $ será satisfeita entre as raízes.
Isso significa que:
0,1x² - 2,5x + 10

Resposta

Não haverá prejuízo quando $ 5 \leq x \leq 20 $.

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