A empresa Pulsar Corporation vende um grande esterilizador com quatro prateleiras extensíveis para instrumentos médicos. Os engenheiros da companhia acreditam que o tempo para se atingir a temperatura de operação, a partir de um início frio (
, medido em minutos), seja linearmente relacionado à espessura isolante (
, em polegadas). Selecionou-se uma amostra aleatória de
espessuras, e registrou-se o tempo para se alcançar a temperatura de operação para cada uma. Os dados são os seguintes:
x
1,3
1,8
0,9
1,6
2,6
1,5
2,1
3,0
0,8
2,4
2,5
2,6
y
8,0
6,9
8,1
7,0
6,3
6,5
6,4
5,8
8,3
8,3
6,6
6,6
Teste a significância da regressão. Use
.
x | 1,3 | 1,8 | 0,9 | 1,6 | 2,6 | 1,5 | 2,1 | 3,0 | 0,8 | 2,4 | 2,5 | 2,6 |
y | 8,0 | 6,9 | 8,1 | 7,0 | 6,3 | 6,5 | 6,4 | 5,8 | 8,3 | 8,3 | 6,6 | 6,6 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a empresa Pulsar Corporation que está investigando se o tempo necessário para o esterilizador atingir a temperatura de operação (
) está relacionado de forma linear com a espessura isolante (
). Basicamente, queremos ver se aumenta a espessura isolante, o tempo também aumenta ou diminui. Para isso, vamos usar regressão linear e testar a significância da regressão com um nível de confiança de
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos uma amostra de
observações com as seguintes espessuras isolantes (
) e tempos (
):
Vamos calcular algumas somas importantes:
Passo 3
Agora, vamos calcular a média de
e
:
Com esses valores, podemos encontrar os coeficientes da regressão linear. A fórmula para o coeficiente angular (
) é:
E o coeficiente linear (
) é:
Passo 4
Depois de encontrar
e
, vamos construir a equação da reta de regressão:
Isso nos ajuda a prever o tempo
com base em uma determinada espessura
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o coeficiente de determinação (
), que indica o quanto da variação em
é explicada pela variação em
:
Passo 6
Com o
, podemos realizar o teste de significância da regressão. Usamos a estatística
:
Aqui,
é o número de variáveis independentes (no caso, apenas
) e
são os graus de liberdade.
Passo 7
Vamos comparar o valor calculado de
com o valor crítico da distribuição
para
,
e
graus de liberdade (já que
). Se
calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 8
Se rejeitarmos a hipótese nula, isso significa que a regressão é significativa e que a espessura isolante realmente influencia o tempo para atingir a temperatura de operação.
Resposta
Após os cálculos, o valor de
calculado é maior que o valor crítico para
. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a regressão é significativa. Isso indica que a espessura isolante (
) tem um impacto significativo no tempo (
) para atingir a temperatura de operação.