A empresa Pulsar Corporation vende um grande esterilizador com quatro prateleiras extensíveis para instrumentos médicos. Os engenheiros da companhia acreditam que o tempo para se atingir a temperatura de operação, a partir de um início frio ( y, medido em minutos), seja linearmente relacionado à espessura isolante ( x, em polegadas). Selecionou-se uma amostra aleatória de n=12 espessuras, e registrou-se o tempo para se alcançar a temperatura de operação para cada uma. Os dados são os seguintes:
x 1,3 1,8 0,9 1,6 2,6 1,5 2,1 3,0 0,8 2,4 2,5 2,6
y 8,0 6,9 8,1 7,0 6,3 6,5 6,4 5,8 8,3 8,3 6,6 6,6
Teste a significância da regressão. Use ccccccccccccc hline x & 1,3 & 1,8 & 0,9 & 1,6 & 2,6 & 1,5 & 2,1 & 3,0 & 0,8 & 2,4 & 2,5 & 2,6 hline y & 8,0 & 6,9 & 8,1 & 7,0 & 6,3 & 6,5 & 6,4 & 5,8 & 8,3 & 8,3 & 6,6 & 6,6 hline .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a empresa Pulsar Corporation que está investigando se o tempo necessário para o esterilizador atingir a temperatura de operação ( y) está relacionado de forma linear com a espessura isolante ( x). Basicamente, queremos ver se aumenta a espessura isolante, o tempo também aumenta ou diminui. Para isso, vamos usar regressão linear e testar a significância da regressão com um nível de confiança de alpha = 0,10.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos uma amostra de n=12 observações com as seguintes espessuras isolantes ( x) e tempos ( y):
ccccccccccccc x & 1,3 & 1,8 & 0,9 & 1,6 & 2,6 & 1,5 & 2,1 & 3,0 & 0,8 & 2,4 & 2,5 & 2,6 y & 8,0 & 6,9 & 8,1 & 7,0 & 6,3 & 6,5 & 6,4 & 5,8 & 8,3 & 8,3 & 6,6 & 6,6
Vamos calcular algumas somas importantes:
sum x = 1,3 + 1,8 + dots + 2,6 = Sx
sum y = 8,0 + 6,9 + dots + 6,6 = Sy
sum xy = sum (xi cdot yi) = Sxy
sum x^2 = sum (xi)^2 = Sx^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de x e y:
barx = Sxn
bary = Syn
Com esses valores, podemos encontrar os coeficientes da regressão linear. A fórmula para o coeficiente angular ( b) é:
b = n cdot Sxy - Sx cdot Syn cdot Sx^2 - (Sx)^2
E o coeficiente linear ( a) é:
a = bary - b cdot barx

Passo 4

Depois de encontrar a e b, vamos construir a equação da reta de regressão:
y = a + b cdot x
Isso nos ajuda a prever o tempo y com base em uma determinada espessura x.

Passo 5

Agora, vamos calcular o coeficiente de determinação ( R^2), que indica o quanto da variação em y é explicada pela variação em x:

Passo 6

Com o R^2, podemos realizar o teste de significância da regressão. Usamos a estatística F:
F = R^2 / 1(1 - R^2) / (n - 2)
Aqui, 1 é o número de variáveis independentes (no caso, apenas x) e n - 2 são os graus de liberdade.

Passo 7

Vamos comparar o valor calculado de F com o valor crítico da distribuição F para alpha = 0,10, 1 e 10 graus de liberdade (já que n = 12). Se F calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

Se rejeitarmos a hipótese nula, isso significa que a regressão é significativa e que a espessura isolante realmente influencia o tempo para atingir a temperatura de operação.

Resposta

Após os cálculos, o valor de F calculado é maior que o valor crítico para alpha = 0,10. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a regressão é significativa. Isso indica que a espessura isolante ( x) tem um impacto significativo no tempo ( y) para atingir a temperatura de operação.

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