Admita que a variável
tome valore 1, 2 e 3 com probabilidades
respectivamente.
c)
e
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores 1, 2 e 3 com probabilidades
,
e
respectivamente. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de valor esperado $ E(X) $ e variância $ V(X) $ de uma variável aleatória discreta.
Passo 2
Vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é como uma média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, onde cada valor é multiplicado pela sua probabilidade.
A fórmula para $ E(X) $ é:
Onde $ x_i $ são os valores que $ X $ pode assumir e $ P(x_i) $ são as probabilidades correspondentes.
Aplicando os valores do problema:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância $ V(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação ao valor esperado. A fórmula para a variância é:
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $:
Aplicando os valores:
Agora, calculamos $ [E(X)]^2 $:
Finalmente, a variância:
Resposta
O valor esperado é $ E(X) = \frac{13}{6} $ e a variância é $ V(X) = \frac{29}{36} $.