Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

Passo 1

Então, a gente tem uma empresa com 3 diretores e 5 gerentes, totalizando 8 pessoas. A pergunta é: quantas comissões de 5 pessoas a gente pode formar, garantindo que pelo menos um diretor esteja na comissão? Vamos usar a combinação, que é uma técnica de contagem na matemática para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de escolher 5 pessoas dentre as 8 disponíveis, sem se preocupar com cargos. Isso é feito usando a combinação, representada por $ C(n, k) $, que calcula quantas formas diferentes há para escolher $ k $ elementos de um conjunto de $ n $ elementos. A fórmula é:
C(n, k)
Então, para nosso caso:
k

Passo 3

Agora, a gente precisa excluir as comissões que não têm nenhum diretor, ou seja, que são formadas apenas por gerentes. Como temos 5 gerentes, vamos calcular quantas comissões de 5 pessoas podemos formar só com eles:
C(5, 5) = 5!5! times (5 - 5)! = 5!5! times 0! = 1

Passo 4

Para encontrar o número de comissões que têm pelo menos um diretor, a gente subtrai as comissões sem diretores do total de comissões possíveis:
Comissões com pelo menos um diretor = C(8, 5) - C(5, 5) = 56 - 1 = 55 õ

Resposta

Então, a empresa pode formar 55 comissões de 5 pessoas que contêm pelo menos um diretor.

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