Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
Passo 1
Então, a gente tem uma empresa com 3 diretores e 5 gerentes, totalizando 8 pessoas. A pergunta é: quantas comissões de 5 pessoas a gente pode formar, garantindo que pelo menos um diretor esteja na comissão? Vamos usar a combinação, que é uma técnica de contagem na matemática para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de escolher 5 pessoas dentre as 8 disponíveis, sem se preocupar com cargos. Isso é feito usando a combinação, representada por $ C(n, k) $, que calcula quantas formas diferentes há para escolher $ k $ elementos de um conjunto de $ n $ elementos. A fórmula é:
Então, para nosso caso:
Passo 3
Agora, a gente precisa excluir as comissões que não têm nenhum diretor, ou seja, que são formadas apenas por gerentes. Como temos 5 gerentes, vamos calcular quantas comissões de 5 pessoas podemos formar só com eles:
Passo 4
Para encontrar o número de comissões que têm pelo menos um diretor, a gente subtrai as comissões sem diretores do total de comissões possíveis:
Resposta
Então, a empresa pode formar 55 comissões de 5 pessoas que contêm pelo menos um diretor.