Um engenheiro utiliza um componente eletrônico cujo tempo de vida T (anos) é uma variável aleatória contínua com distribuição exponencial com média 18 meses. (a) Encontre o tempo de vida L que um componente típico tem 60 % de certeza de exceder esse tempo L. (b) Se cinco componentes forem vendidos a um fabricante, encontre a probabilidade de que pelo menos um deles tenha um tempo de vida menor que L anos (probabilidade de pelo menos um componente tem uma vida útil menor que L anos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de um componente eletrônico que segue uma distribuição exponencial com média de 18 meses (que é 1,5 anos). Vamos usar conceitos de estatística relacionados a distribuições exponenciais para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de componentes eletrônicos. A média dessa distribuição é lambda = 1mu = 11,5 approx 0,6667 , anos^-1 anos. A taxa da distribuição exponencial é o inverso da média:

Passo 3

Para a parte (a), queremos encontrar o tempo de vida P(T > L) = 0,6 tal que há 60% de certeza de que um componente típico exceda esse tempo. Em termos de probabilidade, isso é:
P(T > L) = e^-lambda L
Sabemos que para a distribuição exponencial:
e^-lambda L = 0,6
Então, igualamos e resolvemos para :

Passo 4

Vamos resolver a equação:
-lambda L = ln(0,6)
L = -ln(0,6)lambda
Substituindo L = -ln(0,6)0,6667 approx 0,51080,6667 approx 0,766 , anos :

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos encontrar a probabilidade de que pelo menos um dos cinco componentes tenha uma vida útil menor que P(pelo menos um T < L) = 1 - P(nenhum T < L) anos. Isso é equivalente a:
P(nenhum T < L) = (0,6)^5
Sabemos que , então:

Passo 6

Calculando:
P(nenhum T < L) = 0,6^5 approx 0,07776
Então,
P(pelo menos um T < L) = 1 - 0,07776 approx 0,92224

Resposta

a) O tempo de vida é aproximadamente 0,766 anos.
b) A probabilidade de pelo menos um componente ter vida útil menor que anos é aproximadamente 92,22%.

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