Um engenheiro utiliza um componente eletrônico cujo tempo de vida
(anos) é uma variável aleatória contínua com distribuição exponencial com média 18 meses. (a) Encontre o tempo de vida
que um componente típico tem
de certeza de exceder esse tempo
. (b) Se cinco componentes forem vendidos a um fabricante, encontre a probabilidade de que pelo menos um deles tenha um tempo de vida menor que
anos (probabilidade de pelo menos um componente tem uma vida útil menor que
anos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de um componente eletrônico que segue uma distribuição exponencial com média de 18 meses (que é 1,5 anos). Vamos usar conceitos de estatística relacionados a distribuições exponenciais para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de componentes eletrônicos. A média dessa distribuição é
anos. A taxa
da distribuição exponencial é o inverso da média:
Passo 3
Para a parte (a), queremos encontrar o tempo de vida
tal que há 60% de certeza de que um componente típico exceda esse tempo. Em termos de probabilidade, isso é:
Sabemos que para a distribuição exponencial:
Então, igualamos e resolvemos para
:
Passo 4
Vamos resolver a equação:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos encontrar a probabilidade de que pelo menos um dos cinco componentes tenha uma vida útil menor que
anos. Isso é equivalente a:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Calculando:
Então,
Resposta
a) O tempo de vida
é aproximadamente 0,766 anos.
b) A probabilidade de pelo menos um componente ter vida útil menor que
anos é aproximadamente 92,22%.