Um engenheiro utiliza um componente eletrônico cujo tempo de vida
(anos) é uma variável aleatória contínua com distribuição exponencial com média 18 meses. (a) Encontre o tempo de vida
que um componente típico tem
de certeza de exceder esse tempo
. (b) Se cinco componentes forem vendidos a um fabricante, encontre a probabilidade de que pelo menos um deles tenha um tempo de vida menor que
anos (probabilidade de pelo menos um componente tem uma vida útil menor que
anos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de um componente eletrônico que segue uma distribuição exponencial com média de 18 meses (que é 1,5 anos). Vamos usar conceitos de estatística relacionados a distribuições exponenciais para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de componentes eletrônicos. A média dessa distribuição é
anos. A taxa
da distribuição exponencial é o inverso da média:
Passo 3
Para a parte (a), queremos encontrar o tempo de vida
tal que há 60% de certeza de que um componente típico exceda esse tempo. Em termos de probabilidade, isso é:
Sabemos que para a distribuição exponencial:
Então, igualamos e resolvemos para
:
Passo 4
Vamos resolver a equação:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos encontrar a probabilidade de que pelo menos um dos cinco componentes tenha uma vida útil menor que
anos. Isso é equivalente a:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Calculando:
Então,
Resposta
a) O tempo de vida
é aproximadamente 0,766 anos.
b) A probabilidade de pelo menos um componente ter vida útil menor que
anos é aproximadamente 92,22%.
Exercícios relacionados
Suponha que a probabilidade de um estudante universitário ter um carro no campus seja 0,30 . Uma amostra aleatória de 12 estudantes é retirada. Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 tenham um carro no campus? (a) Trabalhe o problema como um binômio. (b) Aproxime a probabilidade usando a normal padrão. © Compare os resultados do item (a) e (b) e conclua se a aproximação é razoável.
Os exercícios devem ser entregues na próxima aula, escritos à mão. Caso não sejam entregues, ficarão com 4 faltas. Se tiverem dúvidas, por favor, envie e-mail para agendarmos um horário ok?
Os exercícios devem ser entregues na próxima aula, escritos à mão. Caso não sejam entregues, ficarão com 4 faltas. Se tiverem dúvidas, por favor, envie e-mail para agendarmos um horário ok?
Uma empresa tem uma política de aposentar os equipamentos da empresa após um certo tempo de utilização. Essa política analisa o tempo de uso, finalidade do uso, local e outras características. A distribuição do tempo de uso para o tipo de equipamento é em forma de sino e tem uma média de 51 meses e um desvio padrão de 7 meses. Usando a regra
; qual é a porcentagem aproximada de carros que permanecem em serviço entre 30 e 37 meses?
Regra empírica: A regra empírica é utilizada para determinar a porcentagem de valores observados que se enquadram em um número específico de desvios padrão da média. Ela afirma que dos dados se enquadram em 3 desvios padrão da média,
se enquadram em 2 desvios padrão da média e
se enquadram em 1 desvio padrão da média.
Regra empírica: A regra empírica é utilizada para determinar a porcentagem de valores observados que se enquadram em um número específico de desvios padrão da média. Ela afirma que
Karim joga uma moeda honesta 84 vezes. Calcule a probabilidade de que a moeda caia cara mais de 50 vezes, usando (a) a distribuição exata; (b) uma aproximação normal adequada (use o fator de correção).
Seja
uma v.a. com distribuição normal padrão. Encontre:
(a) (Resp: 0,3849 )
(a)