Exercício 9: Calcule as seguintes integrais indefinidas:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais complexas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando
, ela parece ser uma boa candidata para a substituição.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Então:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Integrando
em relação a
, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, vamos substituir
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Ou seja:
Resposta
A integral de
é: