Exercício 9: Calcule as seguintes integrais indefinidas:
e) integral tg x ln (cos x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de tg x ln (cos x) , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais complexas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando ln (cos x), ela parece ser uma boa candidata para a substituição.
Vamos definir:
u = ln (cos x)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = ddx [ln (cos x)]
Usando a regra da cadeia, temos:
dudx = 1cos x cdot (-sin x) = -tan x
Então:
du = -tan x , dx
Isso significa que:
-du = tan x , dx

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original:
integral tan x ln (cos x) , dx = integral u cdot (-du) = -integral u , du

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
-integral u , du
Integrando u em relação a u, temos:
-( u^22 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos substituir u de volta para expressar a resposta em termos de x:
-( (ln (cos x))^22 ) + C
Ou seja:
-12 (ln (cos x))^2 + C

Resposta

A integral de tg x ln (cos x) , dx é:
-12 ( ln (cos x) )^2 + C

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