Encontrar temperatura de uma barra fina de comprimento
se temperatura das extremidades da barra é nula e temperatura inicial da barra foi
. A difusividade térmica na barra é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a temperatura em uma barra fina de comprimento
ao longo do tempo. As extremidades da barra estão em temperatura zero, e inicialmente toda a barra estava na temperatura
. A difusividade térmica da barra é
. Vamos usar os conceitos de condução de calor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve como a temperatura se propaga na barra ao longo do tempo. Essa é a equação do calor, que em uma dimensão fica assim:
Aqui,
é a temperatura na posição
e no tempo
, e
é a difusividade térmica.
Passo 3
Agora, vamos considerar as condições do problema:
-
Condições de contorno: As extremidades da barra estão em temperatura zero para todo o tempo, ou seja:
-
Condição inicial: No tempo inicial (
), toda a barra estava na temperatura :
Passo 4
Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Passo 5
Substituindo
na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 6
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para
:
A solução dessa equação é:
- Para
:
Essa é uma equação diferencial que descreve vibrações harmônicas.
Passo 7
Aplicando as condições de contorno
e
na solução
, descobrimos que as soluções não-triviais existem apenas para certos valores de
. Esses valores são:
Passo 8
Assim, a solução geral é uma soma infinita dessas soluções:
Passo 9
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Isso é uma série de Fourier, e os coeficientes
são dados por:
Como
, temos:
Observe que para números pares,
, então só os termos ímpares contribuem.
Passo 10
Finalmente, a solução para a temperatura na barra é:
onde
Resposta
A temperatura na barra em qualquer ponto
e tempo
é dada por: