Encontrar temperatura de uma barra fina de comprimento l se temperatura das extremidades da barra é nula e temperatura inicial da barra foi U0. A difusividade térmica na barra é a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a temperatura em uma barra fina de comprimento ao longo do tempo. As extremidades da barra estão em temperatura zero, e inicialmente toda a barra estava na temperatura . A difusividade térmica da barra é . Vamos usar os conceitos de condução de calor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve como a temperatura se propaga na barra ao longo do tempo. Essa é a equação do calor, que em uma dimensão fica assim:
Aqui, é a temperatura na posição e no tempo , e é a difusividade térmica.

Passo 3

Agora, vamos considerar as condições do problema:
  1. Condições de contorno: As extremidades da barra estão em temperatura zero para todo o tempo, ou seja:
  2. Condição inicial: No tempo inicial ( ), toda a barra estava na temperatura :

Passo 4

Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :

Passo 5

Substituindo na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 6

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
A solução dessa equação é:
  1. Para :
Essa é uma equação diferencial que descreve vibrações harmônicas.

Passo 7

Aplicando as condições de contorno e na solução , descobrimos que as soluções não-triviais existem apenas para certos valores de . Esses valores são:

Passo 8

Assim, a solução geral é uma soma infinita dessas soluções:

Passo 9

Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Isso é uma série de Fourier, e os coeficientes são dados por:
Como , temos:
Observe que para números pares, , então só os termos ímpares contribuem.

Passo 10

Finalmente, a solução para a temperatura na barra é:
onde

Resposta

A temperatura na barra em qualquer ponto e tempo é dada por:

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