Resolver o problema interno
no plano se: a)
; b)
c)
d)
e)
f)
, onde
são constantes.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar funções harmônicas no interior de um círculo de raio
no plano, onde a função
satisfaz a equação de Laplace
. O contorno está definido como
, e precisamos resolver para diferentes formas de
. Para isso, usaremos a expressão geral em coordenadas polares e exploraremos a série de Fourier quando necessário.
Passo 2
Primeiro, lembramos que em coordenadas polares, a equação de Laplace é dada por:
A solução geral para essa equação no interior do círculo pode ser expressa como uma série de Fourier:
Agora, vamos resolver cada caso específico.
a)
Passo 3
Aqui, a condição de contorno é constante, ou seja,
. Comparando com a solução geral, observamos que apenas o termo
é constante. Todos os outros coeficientes
e
devem ser zero para manter a constância.
Passo 4
Primeiro, expressamos
em coordenadas polares:
. Assim,
. Considerando que estamos no contorno
, temos:
Comparando com a solução geral, identificamos:
Portanto,
e todos os outros coeficientes são zero.
Passo 5
Expressamos
em coordenadas polares:
. Assim,
. No contorno
:
Comparando com a solução geral:
Logo,
e os demais coeficientes são zero.
Passo 6
Primeiro, expressamos
em coordenadas polares:
. Portanto,
. No contorno
:
Comparando com a solução geral:
Os demais coeficientes são zero.
Passo 7
Expressamos
em coordenadas polares:
. Assim,
. No contorno
:
Comparando com a solução geral:
Os demais coeficientes são zero.
Passo 8
Expressamos
em coordenadas polares:
. Assim,
. No contorno
:
Comparando com a solução geral:
Os demais coeficientes são zero.
Resposta
A solução é
.
Resumo Final
Para cada caso a) a f), as soluções harmônicas internas ao círculo de raio
são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)