Dada a função: f(x, y)=4 x^2 y+2 xy^3-1, determine partial f / partial x(x, y). Também, para partial f / partial y(x, y), qual o resultado para o ponto ( 2,1 )? (Valor: 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar as derivadas parciais da função em relação a e . A gente vai precisar saber como calcular derivadas parciais, que é quando derivamos uma função de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = 4x^2y + 2xy^3 - 1 em relação a partial fpartial x = 8xy + 2y^3 , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • em relação a
  • em relação a
  • em relação a
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = 4x^2y + 2xy^3 - 1 em relação a partial fpartial y = 4x^2 + 6xy^2 , .
Derivando a função:
Derivando termo a termo:
  • em relação a
  • em relação a
  • em relaç��o a
Então:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o valor de partial fpartial y(2,1) = 4(2)^2 + 6(2)(1)^2 = 4 times 4 + 6 times 2 = 16 + 12 = 28 no ponto .
Substituindo e na derivada:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é e, no ponto , a derivada parcial em relação a vale .

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