Encontre a 1000ª derivada de f(x)=xe^-x.

Passo 1

Nesta questão, precisamos encontrar a 1000ª derivada da função $ f(x) = x e^{-x} $. Estamos trabalhando com derivadas de ordem elevada, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que são produtos de polinômios e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar derivadas de ordem tão alta, como a 1000ª, é útil identificar um padrão nas derivadas sucessivas. Então, vamos calcular as primeiras derivadas de $ f(x) $ para ver se conseguimos perceber algum padrão.

Passo 3

Calculando a primeira derivada:
f'(x) = ddx [x e^-x] = e^-x + x (-e^-x) = e^-x (1 - x)
Calculando a segunda derivada:
f''(x) = ddx [e^-x (1 - x)] = -e^-x (1 - x) + e^-x (-1) = -2 e^-x + x e^-x

Passo 4

Continuando esse processo, observamos que em cada derivada, os coeficientes dos termos envolvendo $ e^{-x} $ e $ x e^{-x} $ alternam conforme um padrão específico. Após analisar várias derivadas, concluímos que a n-ésima derivada de $ f(x) $ é dada por:
e^-x

Resposta

Portanto, a 1000ª derivada de $ f(x) = x e^{-x} $ é:
f(x) = x e^-x

Exercícios relacionados