Encontre as assíntotas verticais e horizontais de cada curva. Esboce a curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da curva dada pela função
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de funções racionais e entender onde a função pode ter comportamentos especiais, como assíntotas. Vamos precisar fatorar o denominador, identificar onde ele é zero e comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de
que fazem o denominador zero (porque a função fica indefinida ali) e que não anulam o numerador.
Vamos começar fatorando o denominador:
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -3. Esses números são -2 e -1. Então:
Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de
:
Então, temos potenciais assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses valores realmente são assíntotas verticais ou se são “buracos” na curva. Para isso, precisamos ver se o numerador também se anula nesses pontos.
Vamos avaliar o numerador em
e
:
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero em nenhum desses pontos, ambos
e
são assíntotas verticais da função.
Passo 4
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus dos polinômios do numerador e do denominador.
No nosso caso:
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. Aqui, os coeficientes principais são ambos 1, então:
Logo, a assíntota horizontal é
.
Resposta
As assíntotas da curva
são:
- Assíntotas Verticais:
e - Assíntota Horizontal: