Encontre as assíntotas verticais e horizontais de cada curva. Esboce a curva. y = (x^2 + 1) / (x^2 - 3*x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da curva dada pela função y = (x^2 + 1) / (x^2 - 3*x - 2). Para isso, vamos usar alguns conceitos de funções racionais e entender onde a função pode ter comportamentos especiais, como assíntotas. Vamos precisar fatorar o denominador, identificar onde ele é zero e comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de que fazem o denominador zero (porque a função fica indefinida ali) e que não anulam o numerador.
Vamos começar fatorando o denominador:
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -3. Esses números são -2 e -1. Então:
Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de :
Então, temos potenciais assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses valores realmente são assíntotas verticais ou se são “buracos” na curva. Para isso, precisamos ver se o numerador também se anula nesses pontos.
Vamos avaliar o numerador em e :
Para :
Para :
Como o numerador não é zero em nenhum desses pontos, ambos e são assíntotas verticais da função.

Passo 4

Agora, vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus dos polinômios do numerador e do denominador.
No nosso caso:
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. Aqui, os coeficientes principais são ambos 1, então:
Logo, a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas da curva são:
  • Assíntotas Verticais: e
  • Assíntota Horizontal:

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