Prove cada proposição utilizando a definição de limite.

Passo 1

Vamos resolver o limite utilizando a definição de limite com e . Isso faz parte do estudo de Limites de Funções em Cálculo. Para isso, precisamos entender como a definição formal de limite funciona e aplicar isso ao nosso caso específico.

Passo 2

A definição - de limite diz que para todo número positivo , existe um número positivo tal que, se , então , onde é o limite que queremos provar.
No nosso caso, queremos provar que:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos aplicar a definição:
Para todo , precisamos encontrar um tal que, se , então .
Simplificando a desigualdade:

Passo 4

Para resolver essa desigualdade, elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que e são positivos):
Isolando :
Isso significa que, para garantir que , precisamos que esteja dentro do intervalo , onde .

Passo 5

Portanto, escolhemos . Assim, sempre que escolhermos um igual a , a condição será satisfeita sempre que .

Resposta

Portanto, provamos que utilizando a definição - de limite.

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