Prove cada proposição utilizando a definição varepsilon, de de limite. lim x 9^- raiz9-x=0

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 9^- raiz9-x=0 utilizando a definição de limite com varepsilon e de. Isso faz parte do estudo de Limites de Funções em Cálculo. Para isso, precisamos entender como a definição formal de limite funciona e aplicar isso ao nosso caso específico.

Passo 2

A definição varepsilon- de de limite diz que para todo número positivo varepsilon, existe um número positivo de tal que, se 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon, onde L é o limite que queremos provar.
No nosso caso, queremos provar que:
lim x 9^- raiz9-x=0
Aqui, a = 9, f(x) = raiz9 - x e L = 0.

Passo 3

Vamos aplicar a definição:
Para todo varepsilon > 0, precisamos encontrar um de 0 tal que, se 9 - de, então |raiz9 - x - 0| < varepsilon.
Simplificando a desigualdade:
raiz9 - x < varepsilon

Passo 4

Para resolver essa desigualdade, elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que raiz9 - x e varepsilon são positivos):
9 - x < varepsilon^2
Isolando x:
x > 9 - varepsilon^2
Isso significa que, para garantir que raiz9 - x < varepsilon, precisamos que x esteja dentro do intervalo (9 - de, onde de.

Passo 5

Portanto, escolhemos de. Assim, sempre que escolhermos um de igual a varepsilon^2, a condição |raiz9 - x - 0| < varepsilon será satisfeita sempre que 0 < 9 - x < de.

Resposta

Portanto, provamos que lim x 9^- raiz9-x=0 utilizando a definição varepsilon- de de limite.

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