Prove cada proposição utilizando a definição
de limite.
Passo 1
Vamos resolver o limite
utilizando a definição de limite com
e
. Isso faz parte do estudo de Limites de Funções em Cálculo. Para isso, precisamos entender como a definição formal de limite funciona e aplicar isso ao nosso caso específico.
Passo 2
A definição
-
de limite diz que para todo número positivo
, existe um número positivo
tal que, se
, então
, onde
é o limite que queremos provar.
No nosso caso, queremos provar que:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição:
Para todo
, precisamos encontrar um
tal que, se
, então
.
Simplificando a desigualdade:
Passo 4
Para resolver essa desigualdade, elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que
e
são positivos):
Isolando
:
Isso significa que, para garantir que
, precisamos que
esteja dentro do intervalo
, onde
.
Passo 5
Portanto, escolhemos
. Assim, sempre que escolhermos um
igual a
, a condição
será satisfeita sempre que
.
Resposta
Portanto, provamos que
utilizando a definição
-
de limite.
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em
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.
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(0.
) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.