Explique por que as seguintes funções são descontínuas no número dado:
em
Passo 1
Vamos analisar a função dada:
Queremos saber por que essa função é descontínua no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se as seguintes condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para
:
-
Valor da função em
:
Como, usamos a segunda parte da função: -
Limite quando
se aproxima de pela esquerda ( ):
Neste caso,ainda está na região , então: -
Limite quando
se aproxima de pela direita ( ):
Similarmente,continua na região :
Passo 4
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
Todos os valores são iguais.
Resposta
A função
é contínua no ponto
, pois o limite quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função nesse ponto.
Exercícios relacionados
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para provar que as funções a seguir são contínuas no ponto
.
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Prove cada proposição utilizando a definição
de limite.
Encontre as assíntotas verticais e horizontais de cada curva. Esboce a curva.