Explique por que as seguintes funções são descontínuas no número dado: em

Passo 1

Vamos analisar a função dada:
Queremos saber por que essa função é descontínua no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se as seguintes condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para :
  1. Valor da função em :
    Como , usamos a segunda parte da função:
  2. Limite quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    Neste caso, ainda está na região , então:
  3. Limite quando se aproxima de pela direita ( ):
    Similarmente, continua na região :

Passo 4

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
Todos os valores são iguais.

Resposta

A função é contínua no ponto , pois o limite quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

Exercícios relacionados

Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para provar que as funções a seguir são contínuas no ponto .
Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .
Prove cada proposição utilizando a definição de limite.
Encontre as assíntotas verticais e horizontais de cada curva. Esboce a curva.