Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(g) y = 2x - x^2, y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o centróide da região que está delimitada pelas equações e . Isso está relacionado ao cálculo do centróide em Geometria Analítica, que envolve integrais para encontrar as coordenadas médias da área. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área da região e então usar as fórmulas do centróide que envolvem integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso nos dá os limites de integração. Igualando a :
Então, os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, e . Então:

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
Então, a área .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Então:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos resolver essa integral:
Então:

Resposta

O centróide da região é .

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Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de P até Q ou no intervalo especificado.
(d) y = 2/3 * (x^2 + 1)^(3/2) ; [1, 4].
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(d) y = raiz(x - 1), y = 0, x = 5; o eixo y.
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
c) sum 2^n x^n
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(a) y = -2/3 x + 2, y = 0, x = 0.