Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
c) sum 2^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os intervalos de convergência da série sum 2^n x^n. Isso está relacionado com o estudo de séries de potências na Matemática, especificamente determinando para quais valores de a série dentro da soma converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir esses intervalos de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Esse teste diz que, para a série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

No nosso caso, an+1 = 2^n+1 x^n+1 = 2 cdot 2^n cdot x cdot x^n = 2 cdot 2^n x^n cdot x . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = 2 cdot 2^n x^n cdot x2^n x^n = 2x :

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty |2x| = |2x|
Para a série convergir, precisamos que |2x| < 1 implies |x| < 12 :

Passo 6

Portanto, a série converge para todos os valores de -12 < x < 12 que satisfazem . Isso significa que o intervalo de convergência é:

Resposta

O intervalo de convergência da série sum 2^n x^n é .

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