Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(a) y = -2/3 x + 2, y = 0, x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o centróide da região delimitada pelas equações , e . Isso está ligado ao estudo de geometria analítica, especificamente ao cálculo do centróide (ou centro de massa) de uma região plana. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais para calcular as coordenadas e do centróide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. As equações dadas são:
  1. (uma reta),
  2. (o eixo X),
  3. (o eixo Y).
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região. A reta intercepta o eixo Y no ponto (0,2) e o eixo X no ponto onde , ou seja, resolvendo . Portanto, a região é um triângulo formado pelos pontos (0,0), (0,2) e (3,0).

Passo 3

Agora, vamos estabelecer os limites de integração para calcular as áreas e os momentos necessários. Como a região está entre e , e para cada valor de , vai de 0 até .

Passo 4

O centróide é dado pelas fórmulas:
Onde é a área da região, e .

Passo 5

Vamos calcular a área da região. Como é um triângulo com base 3 e altura 2:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Integrando termo a termo:
Calculando de 0 a 3:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando de 0 a 3:
Então:

Resposta

O centróide da região delimitada pelas equações dadas é .

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Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
c) sum 2^n x^n
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
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Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
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