Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centróide da região delimitada pelas curvas , , e . Esse problema está relacionado à Geometria Analítica e ao Cálculo, especificamente ao cálculo de centroides. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de centroides para áreas planas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a simetria da região. Observando a função , percebemos que ela é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Além disso, os limites de são de -1 a 1, reforçando essa simetria. Por causa disso, podemos concluir que o centróide estará sobre o eixo y, ou seja, a coordenada será zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da região. A área pode ser encontrada integrando a função em relação a de -1 a 1:
Devido à simetria da função, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:
Passo 4
Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então . Ajustando a integral:
Integrando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a coordenada do centróide. A fórmula para é: