Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(e) y = |x| raiz(1 - x^2), y = 0, x = -1, x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centróide da região delimitada pelas curvas , , e . Esse problema está relacionado à Geometria Analítica e ao Cálculo, especificamente ao cálculo de centroides. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de centroides para áreas planas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a simetria da região. Observando a função , percebemos que ela é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Além disso, os limites de são de -1 a 1, reforçando essa simetria. Por causa disso, podemos concluir que o centróide estará sobre o eixo y, ou seja, a coordenada será zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região. A área pode ser encontrada integrando a função em relação a de -1 a 1:
Devido à simetria da função, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:

Passo 4

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então . Ajustando a integral:
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Simplificando:
Resolvendo a integral:
Então:

Resposta

O centróide da região é .

Exercícios relacionados

(a) Encontre uma solução estacionária para o problema
l ut=ux x+sen x, em (0, pi) times(0,+infty) u(0, t)=1, t >= 0 ux(pi, t)=2, t >= 0
isto é, encontre uma função v que independe de t e que seja solução do problema acima.
Resolva a equação do calor nos casos abaixo. Utilize f(x) e suas respectivas séries calculadas no exercício acima:
& l ut=ux x ; (x, t) in[0 pi] times(0, infty), ux(0, t)=0=ux(pi, t), t in[0, infty), u(x, 0)=f(x), x in[0, pi]
a) Calcule a solução estacionária de:
l ut=a^2 ux x ; (t, x) in(0, infty) times[0, pi] u(0, t)=-1 ; u(pi, t)=1, t in(0, infty)
Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando f(x) bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
a)
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty) u(x, 0)=f(x) ut(x, 0)=0 x in[0, pi]