Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as soluções da equação da onda dada, usando a função e suas séries de Fourier. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais parciais, especificamente o método de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = 9 uxx
Essa é a equação da onda, onde depende de e . Os subscritos e representam as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente. O número 9 é o quadrado da velocidade da onda ().
Passo 3
As condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0
Isso significa que nas extremidades do intervalo , a função é sempre zero, independentemente do tempo .
Passo 4
As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x) e ut(x, 0) = 0
Aqui, nos dá a forma inicial da onda, e indica que, no instante inicial, a onda não está se movendo.
Passo 5
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de u(x, t) = X(x)T(t) e apenas de X(x)T''(t) = 9 X''(x)T(t) :
T''(t)9T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação da onda:
Dividindo os dois lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 6
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + 9lambda T(t) = 0
Para :
Precisamos resolver essas equações com as condições de contorno e .
Passo 7
As soluções para Xn(x) = sin(nx) que satisfazem as condições de contorno são funções seno: