Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando f(x) bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
a)
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty) u(x, 0)=f(x) ut(x, 0)=0 x in[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as soluções da equação da onda dada, usando a função e suas séries de Fourier. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais parciais, especificamente o método de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = 9 uxx
Essa é a equação da onda, onde depende de e . Os subscritos e representam as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente. O número 9 é o quadrado da velocidade da onda ( ).

Passo 3

As condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0
Isso significa que nas extremidades do intervalo , a função é sempre zero, independentemente do tempo .

Passo 4

As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x) e ut(x, 0) = 0
Aqui, nos dá a forma inicial da onda, e indica que, no instante inicial, a onda não está se movendo.

Passo 5

Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de u(x, t) = X(x)T(t) e apenas de X(x)T''(t) = 9 X''(x)T(t) :
T''(t)9T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação da onda:
Dividindo os dois lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 6

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + 9lambda T(t) = 0
  1. Para :
Precisamos resolver essas equações com as condições de contorno e .

Passo 7

As soluções para Xn(x) = sin(nx) que satisfazem as condições de contorno são funções seno:
Onde é um número inteiro positivo, e .

Passo 8

Agora, resolvemos para T''(t) + 9n^2 T(t) = 0 :
Tn(t) = An cos(3n t) + Bn sin(3n t)
A solução geral dessa equação é:

Passo 9

Então, cada termo da solução separada é:
un(x, t) = [ An cos(3n t) + Bn sin(3n t) ] sin(nx)

Passo 10

A solução geral é a soma de todos esses termos:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(3n t) + Bn sin(3n t) ] sin(nx)

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar f(x) = sumn=1^infty An sin(nx) e 0 = sumn=1^infty 3n Bn sin(nx) .
Primeiro, :
Isso nos mostra que são os coeficientes da série de Fourier de em termos de senos.
Segundo, :
Para que isso seja válido para todo , devemos ter para todos os .

Resposta

A solução da equação da onda é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty an cos(3n t) sin(nx)
Onde an = 2pi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx são os coeficientes da série de Fourier de :

Exercícios relacionados

a) Calcule a solução estacionária de:
l ut=a^2 ux x ; (t, x) in(0, infty) times[0, pi] u(0, t)=-1 ; u(pi, t)=1, t in(0, infty)
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(e) y = |x| raiz(1 - x^2), y = 0, x = -1, x = 1.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
© y = -x^2 + 2x, y = 0, o eixo y.
Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de P até Q ou no intervalo especificado.
© y = 2*(x-1)^(3/2) ; P(1,0), Q(5,16).