(a) Encontre uma solução estacionária para o problema
isto é, encontre uma função v que independe de t e que seja solução do problema acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema que envolve equações diferenciais parciais, mais especificamente a equação do calor com uma fonte externa, que é representada por . O objetivo é encontrar uma solução estacionária, ou seja, uma função que não depende do tempo e que satisfaça a equação e as condições de contorno dadas.
Passo 2
Primeiro, como estamos buscando uma solução que não muda com o tempo, isso significa que a derivada parcial em relação ao tempo, ut = uxx + sin x , será zero. Então, vamos começar ajustando a equação original:
0 = uxx + sin x Rightarrow uxx = -sin x
Como , a equação fica:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO):
uxx = -sin x
Para resolver, precisamos integrar duas vezes em relação a ux = integral -sin x , dx = cos x + C1 .
Primeira integração:
u = integral (cos x + C1) , dx = sin x + C1 x + C2
Segunda integração:
v(x) = sin x + C1 x + C2
Então, a solução geral da EDO é:
Aqui, e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar agora as condições de contorno para achar v(0) = 1 e 1 = sin(0) + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow 1 = 0 + 0 + C2 Rightarrow C2 = 1 .