Encontre a derivada de
nos seguintes casos:
(ii)
.
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = e{x{3} \sin x} $. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto para encontrar a derivada.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que $ f(x) $ é uma função exponencial onde o expoente é outra função, ou seja, $ g(x) = x^{3} \sin x $. Para derivar $ f(x) = e^{g(x)} $, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $. Então, nossa próxima tarefa é encontrar $ g’(x) $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ g(x) = x^{3} \sin x $. Aqui temos um produto de duas funções: $ u(x) = x^{3} $ e $ v(x) = \sin x $. Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que estabelece que $ g’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $.
Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
- A derivada de $ u(x) = x^{3} $ é $ u’(x) = 3x^{2} $.
- A derivada de $ v(x) = \sin x $ é $ v’(x) = \cos x $.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora que temos $ g’(x) $, voltamos à regra da cadeia para encontrar $ f’(x) $:
Substituindo $ g(x) $ e $ g’(x) $:
Resposta
A derivada de $ f(x) = e{x{3} \sin x} $ é: