Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos:
(ii) f(x)=e^x^3 sin x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = e{x{3} \sin x} $. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que $ f(x) $ é uma função exponencial onde o expoente é outra função, ou seja, $ g(x) = x^{3} \sin x $. Para derivar $ f(x) = e^{g(x)} $, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $. Então, nossa próxima tarefa é encontrar $ g’(x) $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ g(x) = x^{3} \sin x $. Aqui temos um produto de duas funções: $ u(x) = x^{3} $ e $ v(x) = \sin x $. Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que estabelece que $ g’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $.

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
  • A derivada de $ u(x) = x^{3} $ é $ u’(x) = 3x^{2} $.
  • A derivada de $ v(x) = \sin x $ é $ v’(x) = \cos x $.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
g'(x) = 3x^2 cdot sin x + x^3 cdot cos x
g'(x) = 3x^2 sin x + x^3 cos x

Passo 6

Agora que temos $ g’(x) $, voltamos à regra da cadeia para encontrar $ f’(x) $:
g'(x)
Substituindo $ g(x) $ e $ g’(x) $:
f'(x)

Resposta

A derivada de $ f(x) = e{x{3} \sin x} $ é:
f(x) = e^x^3 sin x

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